Medir la ortogonalidad de una base

En la entrada anterior hice un repaso rápido de qué son las bases ortogonales. Ahora voy a tratar el siguiente tema:

¿Hay alguna manera de cuantificar si una base está cerca o lejos de ser ortogonal?

La respuesta es sí.

Una manera de hacerlo es utilizando una aplicación de la desigualdad de Hadamard.

Dada una base $B = \{ \vec{b}_1, ..., \vec{b}_n \}$ del espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$:

$$|det(B)| \leq \prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|$$

Desde el punto de vista geométrico, la desigualdad anterior nos aporta una cota superior del volumen del n-paralelepídedo formado por $B$.

Pero para el caso que nos ocupa, es muy útil conocer que dicha desigualdad se convierte en igualdad cuando la base es ortogonal por lo que nos permite definir la siguiente "razón de ortogonalidad de Hadamart":

$$\frac{|det(B)|}{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|} $$

 Dicho valor estará comprendido en el intervalo $(0,1]$ y será exactamente 1 cuando la base sea ortogonal. Cuanto más "cerca" esté una base de ser ortogonal, más cerca de 1 estará el valor de la razón anterior. Cuanto más "lejos" esté una base de ser ortogonal, más cerca de 0 estará dicho valor.

Desde un punto de vista intuitivo e informal, estamos diciendo que si fijamos el módulo de los vectores que generan un n-paralelepídedo entonces el volumen es máximo cuando estos son ortogonales (en el momento en el que variamos alguno de los ángulos el volumen del n-paralelepípedo baja). Por tanto, si comparamos el volumen del n-paralelepípedo generado por los vectores de la base con el volumen máximo (caso ortogonal) podemos tener una idea de si la base está "cerca" o "lejos" de ser ortogonal.

Vamos a calcular dicha razón en los ejemplos de la entrada anterior en $\mathbb{R}^3$.

Comenzamos con la base canónica $C = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$:

 

 $|det(C)|=1$

 $\|(1,0,0)\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1$ 

 $\|(0,1,0)\|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1$ 

 $\|(0,0,1)\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$

Por tanto,

$$\frac{|det(C)|}{\prod_{i=1}^{n}||\vec{c}_i||} = \frac{1}{1} = 1$$

Es decir, como el valor da 1 podemos afirmar que la base es ortogonal.

 

En el caso de la otra base utilizada, $D = \{(1,0,0),(1,1,1),(0,2,1)\}$ 

 $|det(D)|=1$

 $\|(1,0,0)\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1$ 

 $\|(1,1,1)\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$ 

 $\|(0,2,1)\|=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt{5}$

 Por tanto,

$$\frac{|det(D)|}{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{d}_i\|} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \simeq 0.2581$$

Da un valor alejado de 1 por lo que podemos afirmar que la base "está lejos" de ser ortogonal. 

 

En realidad resultaría de utilidad tener una "medida" normalizada y comparable entre dimensiones. Si añadimos una raíz n-ésima tendremos una especie de "media geométrica del grado de normalidad por vector". Así pues, es más frecuente utilizar la siguiente expresión cuando se habla de la razón de ortogonalidad de Hadamart:

$$H(B) = \sqrt[n]{\frac{|det(B)|}{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|}} $$

Otros autores hablan del defecto de ortogonalidad de una base definiéndola de la siguiente manera:

$$\vartriangle(B) = \frac{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|}{|det(B)|} $$

de manera que cuánto mayor es el cociente "menor" es la ortogonalidad de la base (que sigue siendo 1 para bases ortogonales).

PD: Entrada de Wikipedia sobre el matemático francés Jacques Hadamard. 

Región fundamental de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

Llamamos región fundamental del retículo $\varLambda(B)$ al conjunto:

$$\mathcal{F}(\varLambda(B)) = \{ \sum_{i=1}^{n}t_i·\vec{b_i} \mid t_i \in [0,1) \wedge \vec{b_i} \in B; \forall i \in \{1,...,n\} \}$$

Dicha región fundamental también es conocida como dominio fundamental o paralelepípedo fundamental.

A modo de ejemplo, retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{ (5, 3), (5, 0) \}$

 

Su región fundamental tiene la siguiente representación gráfica (importante observar la frontera):

 

Una vez definida la región fundamental, podemos realizar las siguientes observaciones:

• El $\vec{0}$ siempre pertenece a la región fundamental, independientemente de la base que genera el retículo $\varLambda$.
• Excluyendo el $\vec{0}$, los vectores de la región fundamental NO pertenecen al retículo $\varLambda$.
• Si cambiamos la base generadora del retículo, la región fundamental asociada también cambia. 

Si en el mismo retículo completo del ejemplo anterior cogemos la base $C = \{(0,3), (5,0)\}$, la región fundamental queda representada de la siguiente manera:

Sin embargo,

• aunque cambie la región fundamental, el "volumen n-dimensional" de la región fundamental (n-paralelepípedo o paralelótopo) es invariante. ¿Por qué? Porque se calcula con el determinante y se explicó un resultado al respecto en la anterior entrada.
• Con la región fundamental podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.

 

 

Volumen vs Capacidad

Me he encontrado en diferentes situaciones con personas que no distinguen correctamente lo que es el volumen de lo que es la capacidad, creyendo incluso que son términos equivalentes.

Supongo que las habituales expresiones de equivalencia entre sus unidades de medida y su enseñanza descontextualizada son dos de los factores que contribuyen a esta confusión.

En expresiones del tipo 1 dm³ = 1 litro no hay nada incorrecto, desde un punto de vista teórico, pero hay que ir con cuidado porque hay una serie de matices conceptuales (con implicaciones prácticas) bastante importantes.

La diferencia fundamental entre volumen y capacidad es que, de una manera intuitiva, volumen hace referencia al espacio que ocupa un objeto y capacidad al espacio que contiene. Llevado al campo de la medida, calcular el volumen de un cuerpo es medir cuánto ocupa y calcular su capacidad es medir cuánto cabe en él.

Así pues, lo que cabe en un cubo (teórico) de 1 dm de arista es 1dm³ que es lo que se definió como litro (ignorando cuestiones históricas). Es decir, 1 litro ocupa 1 dm³ en el espacio.

Bien, aquí lo importante es que ese cubo teórico está formado por cuadrados teóricos que no tienen grosor. Si nos vamos a la realidad y cogemos una caja de cartón (con forma de cubo), el cartón como cualquier material sí que tiene grosor, por lo que su volumen y su capacidad no coinciden.

La caja, como es lógico, ocupa más espacio del que puede contener. Si la distancia interna entre las paredes de la caja es de 1 m, su capacidad será 1000 litros (dado que el espacio que encierra la caja es 1 m³), pero el volumen de la caja será mayor. Pongamos por ejemplo que el grosor del cartón es de 1 cm. Entonces, el volumen de la caja es 102 cm x 102 cm x 102 cm = 1061208 cm³ = 1,061208 m³.

Por tanto, debemos ir con cuidado y distinguir correctamente los conceptos de volumen y capacidad de un objeto.

Otra falsa concepción del concepto de capacidad es pensar que sólo se puede utilizar para líquidos. Enseguida encontramos buenos ejemplos de lo contrario.

Bolsa de 50 litros de substrato para plantas