Los polinomios de Laguerre son unos polinomios conocidos principalmente (aunque no únicamente) por ser soluciones de la ecuación diferencial
x · y'' + (1 - x) · y' + n · y = 0
Su nombre se debe al matemático francés Edmond Nicolas Laguerre, quien publicó muchos artículos, principalmente en las áreas de geometría y análisis.
Una de las formas de calcular los polinomios de Laguerre viene dada por la siguiente expresión:
También se pueden calcular de manera recursiva:
; ;
; 
; 
En wxMaxima podemos calcular muy fácilmente los polinomios de Laguerre utilizando la función laguerre().
Ejemplo de cálculo de los primeros 5 polinomios de Laguerre:
En Python también existen maneras de calcular los polinomios de Laguerre, utilizando funciones de las librerías NumPy, SciPy o SymPy.
A modo de ejemplo, el siguiente código calcula y representa gráficamente los primeros polinomios de Laguerre:
# Cálculo y representación gráfica de los polinomios de Laguerre
# Félix Rodríguez Díaz
# 25 de agosto de 2025
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import laguerre as laguerre_sci
from numpy import arange
from numpy.polynomial.laguerre import lag2poly
from numpy.polynomial import Polynomial
from sympy.functions.special.polynomials import laguerre as laguerre_sym
from sympy import symbols, Poly
# Definimos la variable n_polinomios con la cantidad de polinomios que
# queremos calcular (desde grado 0 hasta grado n_polinomios-1)
n_polinomios = 5
# Calculamos los polinomios de Laguerre con SciPy
laguerre_scipy = [laguerre_sci(z) for z in range(n_polinomios)]
# Los mostramos por pantalla
print("Polinomios de Laguerre calculados con SciPy")
for lag_s in laguerre_scipy:
print(lag_s)
# Calculamos los polinomios de Laguerre con NumPy
# Dado que lag2poly devuelve los coeficientes utilizamos Polynomial
# para crear el correspondiente polinomio
laguerre_numpy = [Polynomial(lag2poly([0] * i + [1])) for i in range(n_polinomios)]
# Los mostramos por pantalla
print("\nPolinomios de Laguerre calculados con NumPy")
for lag_n in laguerre_numpy:
print(lag_n)
# Calculamos los polinomios de Laguerre con SymPy
x_sym = symbols("x")
laguerre_sympy = [laguerre_sym(z, x_sym) for z in range(n_polinomios)]
# Los mostramos por pantalla
print("\nPolinomios de Laguerre calculados con SymPy")
for lag_sym in laguerre_sympy:
print(lag_sym)
# Si queremos representar gráficamente los polinomios de SymPy con pyplot debemos
# convertir las expresiones simbólicas a expresiones que reconozca numpy
laguerre_sympy_numpy = []
for lag_expr in laguerre_sympy:
# Obtener coeficientes (del término de mayor grado al menor)
coeffs = Poly(lag_expr, x_sym).all_coeffs()
# Convertir a float
coeffs_float = [float(c) for c in coeffs]
# Invertir para que NumPy los interprete correctamente (menor a mayor grado)
coeffs_float.reverse()
# Crear polinomio de NumPy
poly_numpy = Polynomial(coeffs_float)
laguerre_sympy_numpy.append(poly_numpy)
# Representamos gráficamente los polinomios
x = arange(-1, 3.5, 0.01)
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_title('Polinomios de Laguerre $L_n$')
for n in range(n_polinomios):
# Utilizamos por ejemplo los calculados con SciPy
ax.plot(x, laguerre_scipy[n](x), label=f"$L_{n}$")
# Si quisiéramos utilizar los calculados con NumPy:
#ax.plot(x, laguerre_numpy[n](x), label=f"$L_{n}$")
# Si quisiéramos utilizar los calculados con SymPy:
#ax.plot(x, laguerre_sympy_numpy[n](x), label=f"$L_{n}$")
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()
Este es el resultado de ejecutarlo:
