¡Aumentar el 50% no es lo mismo que duplicar!

Desgraciadamente los periodistas nos tienen demasiado acostumbrados a sus errores en la utilización y comprensión de las matemáticas. Ejemplos tenemos para llenar cuantos carros queramos. Si aún no lo conocéis, os invito a que os paseéis por el blog Malaprensa en el que podréis ver un análisis de diversos errores (desde algunos muy básicos hasta otros con más profundidad) que aparecen en la prensa española.

Anoche en La Sexta Noche el profesor Gay de Liébana estaba analizando la evolución que experimentaron algunos aspectos económicos durante el periodo 2006-2012.

En una de las diapositivas que mostró se observaba que el precio del agua, carburantes y electricidad se había incrementado un 50%. Y se produjo el siguiente diálogo (se puede ver en LaSexta.com, fragmento 4, minuto 10 segundo 50 aproximadamente):

- Profesor: (...) y se han incrementado en un 50%.
- Presentador: ¿¡En 6 años se han doblado!?
- Profesor: En 6 años se han doblado en un 50%, claro.

Sr. Iñaki, aumentar un 50% no es lo mismo que doblar (que sería aumentar un 100%). Esto es algo bastante básico, no es una integral doble, es un porcentaje. Vaya por delante que cualquiera puede cometer un error, y más si hablamos de un comentario relativamente espontáneo y en directo, por lo que tampoco hay que estigmatizar a nadie por ello. Pero un periodista, que habitualmente trabaja con informaciones que contienen datos numéricos, estadísticas, fracciones, razones y porcentajes, como mínimo debería controlar a un nivel básico esos temas y no meter la pata de esa manera. Y por otra parte el profesor Gay de Liébana no sé si se habrá dado cuenta de que lo que ha dicho es incorrecto: ¿doblar en un 50%? O doblas o aumentas en un 50% (y en cualquier caso son cosas distintas).

Mi perspectiva profesional me conduce siempre a analizar las conexiones educativas de sucesos como este. En mi opinión lo que sucede, en general, con muchos periodistas es un reflejo de la competencia matemática de nuestra sociedad (con el agravante de que los periodistas son personas con formación universitaria por lo que se les presupone un mayor nivel cultural que la media), producto de la filosofía mecanicista que impera desde hace muchos años en la enseñanza de las matemáticas de nuestro país. Invito a cualquiera que lleve tiempo sin echar un vistazo a los libros de texto, o el cuaderno de clase de un alumno de secundaria, a que lo haga y observe, por ejemplo, el tema de porcentajes.

Las consecuencias legislativas de las pruebas PISA, la incorporación de las competencias básicas, ha provocado en las aulas un aumento de los ejercicios en contexto (bienvenido sea, aunque sigan siendo ejercicios mecánicos en contexto) pero no un cambio del paradigma de enseñanza-aprendizaje. La mayoría de conceptos de ESO y Bachillerato se siguen enseñando de manera descontextualizada como una regla que posteriormente debe aplicarse a una cantidad de ejercicios (con y sin contexto) para comprobar que los alumnos son buenos autómatas. Según seguimos haciendo las cosas, da igual que los alumnos no adquieran correctamente el concepto de porcentaje, lo importante es que sepan aplicar la regla que se les enseña en los ejercicios tipo que les pongamos en los exámenes (como "calcula el 120% de 80" o "me compro un pantalón de 56€ en el que me hacen un descuento del 20%"). Según seguimos haciendo las cosas, da igual que los alumnos no entiendan la justificación ni el fundamento de la regla, ni sus conexiones ¿para qué?

Pero claro, luego nos echamos las manos a la cabeza cuando alguien dice una barbaridad, tan básico desde el punto de vista conceptual, como que aumentar un 50% es lo mismo que duplicar. Yo me llevo las manos a la cabeza al ver que editoriales de libros de texto y muchos centros y docentes tienen días o apartados específicos para trabajar "problemas de competencias". No hemos entendido nada. Tampoco las Administraciones Educativas se han ocupado de que se entienda. De hecho, dudo hasta de que las las Administraciones Educativas hayan entendido algo.

Ya que estoy os propongo una pregunta: después de haber incrementado una cantidad un 50%, ¿qué porcentaje debo incrementar el resultado para obtener el doble de la cantidad inicial?
Si tu respuesta es que no lo sabes porque no conoces la cantidad inicial puede ser un buen momento para reflexionar sobre el concepto de porcentaje.
Si tu respuesta es que debes aplicar otro incremento del 50% puede ser un buen momento para reflexionar sobre si el modelo de enseñanza de las matemáticas que tuviste es el adecuado, porque tu respuesta es incorrecta.

Volviendo al tema principal, algunos hemos dicho en ocasiones medio en broma que los periodistas (como otros) deberían pasar por cursos de actualización matemática en los que aprendieran los conceptos básicos que utilizan habitualmente para evitar que sigan diseminando más incultura matemática. Pero por lo menos yo cada vez lo digo más en serio.

La del profesor de matemáticas que cambió su monitor porque transformaba las circunferencias en elipses

A continuación narro la historia (verídica) que justifica el título de esta entrada:

Érase una vez un veterano profesor de matemáticas de un instituto, de cuyo nombre no quiero acordarme, al que hace ya unos cuantos años se le estropeó el monitor de su ordenador. Así que fue a una tienda y se compró un monitor de los que por aquél entonces eran la novedad, de esos planos y panorámicos.

 

Una vez en su casa, lo conectó al ordenador y cuando comenzó a trabajar en uno de sus pasatiempos favoritos, los problemas de geometría que solía explorar y resolver mediante Software de Geometría Dinámica (valga como ejemplo Geogebra). Su sorpresa fue mayúscula al ver que era incapaz de hacer círculos y cuadrados porque, a pesar de seguir el procedimiento correcto habitual, en la pantalla veía elipses y rectángulos (no cuadrados). Cabreado y despotricando contra lo que a su juicio eran unos nefastos monitores, se fue a la tienda a devolver el que acababa de comprar y se compró uno "de los de toda la vida".

Antes de abordar qué pasaba con el monitor que compró el profesor, necesito hablar, a modo de introducción, de la resolución que muestra una pantalla. Para aquellos (pocos) que no sepáis lo que es, aclarar que la resolución de una pantalla no es más que las dimensiones (ancho y alto), medidas en píxeles, de la parte gráfica rectangular que se muestra en ella. Si queremos explicarlo de una manera más ingenua e intuitiva, imaginad que trabajamos con papel cuadriculado; cada cuadradito del papel es la unidad mínima, que es el equivalente al píxel en una pantalla, y podemos rellenarlo de un único color. Si una pantalla trabaja a una resolución de 800x600, lo que hace es mostrar un rectángulo gráfico que mide 800 píxeles de ancho y 600 píxeles de largo (sería como una hoja de papel rectangular con 800 cuadraditos de ancho y 600 de alto).

Un mismo monitor puede trabajar en varias resoluciones. ¿Cómo puede ser eso si el monitor tiene unas dimensiones físicas que no cambian? Imaginad de nuevo una hoja de papel cuadriculado en la que cada cuadradito que tiene la hoja lo dividimos en 4 cuadraditos más pequeños; o análogamente podemos formar 1 cuadradito más grande por cada 4 cuadraditos de la hoja. Sin cambiar el tamaño de la hoja de papel hemos conseguido cambiar el número de cuadraditos que lo forman y, por tanto, su "resolución" (si volvemos al caso de las pantallas).

Lo anterior nos lleva a una primera característica importante: las dimensiones físicas de la "unidad píxel" son variables. Al igual que una misma pantalla puede trabajar a diferentes resoluciones (variando las dimensiones físicas de un píxel), dos pantallas que trabajan a una misma resolución no son necesariamente igual de grandes (físicamente). Un ejemplo: la pantalla de un teléfono móvil puede trabajar a una resolución mayor que la pantalla de un ordenador portátil, pero físicamente la pantalla del portátil (como norma general) es mayor que la del móvil. Entonces, ¿de qué es indicador la resolución de una pantalla? Pues del nivel de detalle (o calidad) de las imágenes que muestra. De nuevo nos sirve el ejemplo de la hoja de papel cuadriculado. Cuantos más cuadraditos tenga la hoja, con más detalle podré representar un mismo dibujo (recordad que los cuadraditos sólo se pueden rellenar).

Ahora ya sólo falta recurrir a la razón matemática (y no me refiero a la del raciocinio sino a la que en inglés llaman ratio). ¿Os habéis planteado alguna vez qué significan esas parejas de números que salen en algunos aparatos de imagen (TV, DVD, monitores, cámaras de fotos o vídeo...) y que suelen mostrarse como 4:3 y 16:9? Pues es la razón entre el ancho y el alto de la imagen (inciso: en este caso se utiliza también la expresión relación de aspecto, pero me gustaría aclarar que desde el punto de vista matemático es erróneo llamarlo proporción, como hacen algunos). Una razón de 4:3 significa que por cada 4 píxeles que hay de ancho tenemos 3 píxeles de alto. Antes puse como ejemplo un monitor que trabajaba a una resolución de 800x600. Si hacemos la razón ancho/alto de esa resolución obtenemos 800/600 (sí, las razones también se representan en forma de fracción), cuya fracción irreductible es 4/3. ¿4/3? ¿Será casualidad que coincida con el 4:3 del televisor? Pues no es casualidad. Probamos con otra resolución habitual en los monitores: 1024x768. La razón ancho/alto es 1024/768 que simplificando queda 4/3. Otra resolución muy de moda últimamente es la denominada Full-HD, que es el nombre "comercial" de la resolución 1920x1080. La razón de la resolución Full-HD es 1920/1080 que si simplificamos queda 16/9 (16:9). Las razones 4:3 y 16:9 no son las únicas que se utilizan, podemos encontrar otras como 3:2, 5:4, 1:1 (cuadrado), 16:10, 7:5, etc.

¿Sabes cuál es la razón ancho/alto de tu monitor? Si no lo sabes no es difícil averiguarlo, coges una cinta métrica y mides el alto y el ancho de la pantalla (sólo la pantalla, sin el marco que tenga el monitor). A modo de ejemplo acabo de medir la pantalla de mi ordenador, desde el que estoy escribiendo esta entrada, y las medidas aproximadas son 41cm de ancho y 25'5cm. Así pues, la razón ancho/alto de mi monitor es 41/25'5. Una estrategia que puede utilizarse ahora es hacer la división 41:25'5, que da un cociente de 1'61 (redondeando a la centena). Por lo que, tras buscar entre las razones más habituales la que más se aproxima al resultado obtenido, concluyo que mi monitor tiene una razón ancho/alto de 16:10 (=1'6).

Bien... y todo esto ¿qué tiene que ver con la historia del principio? Pues absolutamente todo, porque una cuestión fundamental a la hora de seleccionar qué resolución utilizamos para trabajar es que debemos utilizar una resolución que tenga la misma razón (o la más cercana) a la razón de las dimensiones físicas de la pantalla de nuestro monitor. Por ejemplo, si utilizamos una resolución con una razón 4:3 en un monitor cuya razón física es 16:9 lo que provocaremos es una deformación de la imagen (estirándola a lo ancho).

A la izquierda imagen estirada y a la derecha imagen manteniendo su relación de aspecto

Yo estoy utilizando en estos instantes, en el monitor descrito anteriormente, una resolución de 1440x900. ¿Es esta resolución adecuada para mi monitor? (último inciso: fijaos que no puedo evitar hacer explícita alguna actividad, pero en realidad he dejado bastantes pistas por el camino sobre cosas que se pueden hacer en el aula, siempre dando contexto y sentido a lo que se trabaja)

¿Entendéis ahora por qué el profesor de matemáticas veía elipses y rectángulos cuando él construía circunferencias y cuadrados? A los monitores panorámicos no les pasa absolutamente nada y son igual de válidos para trabajar que cualquier monitor de otras características, pero un poquito más de competencia digital le hubiera ido bien a aquel profesor. Aunque en ese caso me hubiera quedado sin una buena historia que contaros.

Más matemáticas viendo el telediario

Esta vez centramos la atención en las noticias de los telediarios para encontrar posibles actividades para llevar al aula.

En ocasiones los docentes nos estrujamos los sesos para encontrar actividades ricas y en un contexto cotidiano y útil. A veces esas actividades están más cerca de lo que pensamos.

Noticia 1. Pantanos (casi) llenos [ámbito estatal - geografía, biología, educación medioambiental]: (ojo porque hay un par de detalles muy interesantes)

Noticia 2. La gasolina no baja [ámbito estatal - consumo]:

Una televisión de profesores.

Publicado originalmente el 15 de septiembre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

El otro día buceando por Internet llegué a una página llamada Teachers TV. Se trata de un portal lleno de vídeos de experiencias de aula en el que podemos encontrar más de una propuesta interesante.

Como hay vídeos de todas las asignaturas, si nos interesa podemos filtrarlos por materias: vídeos de Matemáticas.

Podéis ver, por ejemplo, este vídeo de una clase de primaria. O estos otros (vídeo 2 , vídeo 3) sobre la utilización de Software de Geometría Dinámica en las aulas de secundaria.

Dos cosas: primero que está todo en inglés y segundo que se pueden ver todos los vídeos en la web sin tener que registrarse (pero si queremos descargar algún vídeo sí que nos tendremos que registrar como usuarios, también gratuitamente).

A ver cuándo llegan por estas tierras iniciativas de este tipo...

El paro ha subido y ha bajado

Publicado originalmente el 5 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Llevamos ya unos meses de agotadora campaña electoral donde cada partido dice la suya (a pesar de que los medios sólo den difusión a dos de los partidos). Este domingo iremos a votar (los que queramos) y decidiremos democráticamente qué partido tendrá la mayoría suficiente para gobernar el país. Ya analizaremos matemáticamente los resultados porque siempre es una actividad que encuentro muy oportuna y positiva (y ya volveremos a hablar de la ley de Hondt).

Pero en esta ocasión no quiero hablar del sistema electoral sino de un hecho que he constatado durante esta campaña. ¡El paro ha bajado y también ha subido! Ahora es el momento en que decimos que cómo es posible una cosa y la contraria. No quiero realizar ninguna consideración política ya que cada uno tiene su opinión, pero si que quiero analizar lo más objetivamente posible estas afirmaciones de los dos grandes partidos políticos.

En los debates hemos visto como el Sr. Rajoy sacaba un gráfico (de líneas) dónde se mostraba cómo el paro había subido los últimos años. Pero en su turno, el Sr. Zapatero sacó otro (de barras) donde se mostraba cómo el paro había bajado en los últimos años. Claro, el ciudadano ve esto en ese momento y no puede sino dudar de la veracidad de alguno de los dos gráficos.

Bueno, pues hay que decir que ambos gráficos eran correctos. Y, ¿cómo puede ser esto posible? Pues porque aunque ambos hablaban del paro, no nos explicaron con claridad que hablaban en términos distintos. El Sr. Rajoy hablaba en términos absolutos, es decir, el gráfico mostraba la evolución del número de personas que hay apuntadas al paro. Y es un hecho que hay más personas apuntadas al paro, respecto a hace cuatro años. Por otra parte, el Sr. Zapatero hablaba en términos relativos, es decir, el gráfico mostraba la evolución del porcentaje del total de la población que está apuntada al paro. Y es un hecho que el porcentaje de personas apuntadas al paro ha bajado en los últimos cuatro años.

Insisto en que no quiero realizar una valoración política. Desde un punto de vista matemático encuentro más acertada la visión en términos relativos. Pondremos un ejemplo extremo. Imaginemos una población de 100 habitantes donde 50 de ellos no trabajan. Supongamos que diez años más tarde la población es de 1000 habitantes de los cuales 51 no trabajan. Creo, y esto ya es una opinión mía, que no sería muy justo criticar a los gobernantes en este caso porque el paro haya subido, teniendo en cuenta el total de habitantes. No obstante, como ciudadanos sí que podemos exigir a nuestros gobernantes (y opositores) que hagan todo lo que tengan que hacer para dar trabajo a estas 51 personas que quieren trabajar y no pueden.

Una cosa muy parecida ocurrió con los gráficos de la inflación, donde el Sr. Rajoy hablaba de la inflación puntual y el Sr. Zapatero hablaba de la inflación media.

Creo que el ciudadano debe tener una suficiente alfabetización matemática para, al menos, entender la información que le llega para después decidir qué criterio quiere seguir.

Didáctica de las matemáticas en la UCLMTV

Publicado originalmente el 24 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

La Universidad de Castilla La Mancha (UCLM) tiene un portal interactivo denominado UCLMTV donde cada domingo cuelgan el programa "UCLM al día", emitido en la televisión autonómica.

El 23 de diciembre de 2007 emitieron el programa número 50: “Estudio sobre la Didáctica de las Matemáticas“. Éste es un mini-reportaje de unos cinco minutos en el que se narra muy brevemente una de las propuestas didácticas que están llevando a cabo actualmente en cuatro centros de Primaria de Ciudad Real.

Encuentro muy buena idea realizar reportajes relacionados con cuestiones de la vida universitaria.

¿Navaja o anti-navaja?

Publicado originalmente el 10 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Si me estuviera refiriendo a la navaja como cuchillo de verdad, la respuesta a la pregunta dependería del uso que le vayamos a dar (si es para cortar pan entonces sí y si es para utilizar como arma pues no). Pero no me estoy refiriendo a ésto.

No sé si es porque los guionistas de Hollywood están en huelga o porque desde siempre se han copiado (digamos que se han inspirado en las ideas) unos a otros, pero el hecho es que a varias series de TV he oído hablar de los que se denomina la navaja de Occam.

Resumiendo mucho podemos decir que la navaja de Occam es una teoría que tiene como máximo principio el siguiente: en igualdad de condiciones la posibilidad más sencilla es la más probable. En la Wikipedia podéis encontrar un artículo muy interesante al respecto.

Como podréis leer es una teoría reduccionista y que tiene sus detractores, algunos de los cuales han formulado lo que se denomina una anti-navaja.

Os pongo un ejemplo de un caso que me ocurrió no hace mucho. Me disponía a ir a la universidad y me subí al coche. Todo normal hasta que, una vez sentado y con la llave en el contacto, cuando intentaba arrancar, el coche hacía el típico ruido de "no quiero arrancar" y no arrancaba. ¿Y ésto por qué?

Teoría 1. El coche tiene aproximadamente cinco años y nunca se ha cambiado la batería, así que se ha gastado y por eso no arranca el coche.

Teoría 2. Intentaba arracar el coche con una llave que creía perdida y que encontré dentro del bolsillo de un abrigo después de casi un año (cuando saqué la ropa de invierno del armario). Como tenía miedo de perder la única llave del coche que me quedaba, encargué otra al concesionario donde compré el coche. Resulta que las llaves de ahora llevan un código magnético y por protección cambiaron el código de la llave que me quedaba y de la nueva, de tal manera que la llave que creía perdida se quedó con un código diferente. Y por eso no arranca el coche.

La teoría más simple es la 1. Según la navaja de Occam es la más probable. Sin embargo, la teoría buena fue la 2. Por lo menos me dí cuenta antes de cambiar la batería del coche (que no me hubiera solucionado nada).

Tanto si a uno le gusta la navaja de Occam como si le gustan más las anti-navajas lo que no hay que hacer nunca es asumir que la posibilidad más probable es la única buena.

Leonardo da Pisa, ¿creador del sistema decimal?

Publicado originalmente el 17 de julio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace dos semanas comenzó un programa de televisión titulado "¿Sabes más que un niño de primaria?" en Antena 3. En el programa de la semana pasada hicieron al concursante una pregunta, no recuerdo de qué curso, de la asignatura de Matemáticas que decía algo similar a lo siguiente: "¿Qué matemático fue el creador del sistema decimal?"

Cuando realizaron la pregunta me quedé dudando un buen rato. No es una pregunta fácil, al menos si quieres contestarla con rigor y no como hicieron en el programa. Si yo hubiera estado en el programa, finalmente me hubiera arriesgado a contestar "Leonardo da Pisa", sabiendo que es una respuesta incorrecta. Pues la respuesta que el programa daba por válida era Fibonacci (el otro nombre con el que conocemos a Leonardo da Pisa).

Como ya he dicho antes, esto es totalmente falso. Sí es cierto que Leonardo da Pisa importó a Europa este sistema decimal cuando aún utilizábamos el sistema romano. Pero de eso a decir que fue el creador hay muchísima diferencia.

Desgraciadamente muchas veces nos encontramos esta tendencia a pensar que fuera de nuestra cultura occidental no se han hecho grandes aportaciones. En realidad, el sistema decimal que utilizamos (que se llama así porque utiliza 10 dígitos, mal denominados arábigos) proviene de la India. Lo que desconozco es si se atribuye a algún personaje, pero creo que no hay ningún estudio determinante al respecto.

Una cosa que ahora me intriga es si este programa de televisión coge las preguntas de los libros de texto de Primaria. Eso significaría que los educadores enseñamos a los niños que el creador del sistema decimal fue una persona que en realidad no lo es. ¿Alguien lo ha encontrado en algún libro? Otra duda es si el programa me hubiera aceptado la respuesta de Leonardo da Pisa o si ignoran que es la misma persona que Fibonacci.