Región fundamental de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

Llamamos región fundamental del retículo $\varLambda(B)$ al conjunto:

$$\mathcal{F}(\varLambda(B)) = \{ \sum_{i=1}^{n}t_i·\vec{b_i} \mid t_i \in [0,1) \wedge \vec{b_i} \in B; \forall i \in \{1,...,n\} \}$$

Dicha región fundamental también es conocida como dominio fundamental o paralelepípedo fundamental.

A modo de ejemplo, retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{ (5, 3), (5, 0) \}$

 

Su región fundamental tiene la siguiente representación gráfica (importante observar la frontera):

 

Una vez definida la región fundamental, podemos realizar las siguientes observaciones:

• El $\vec{0}$ siempre pertenece a la región fundamental, independientemente de la base que genera el retículo $\varLambda$.
• Excluyendo el $\vec{0}$, los vectores de la región fundamental NO pertenecen al retículo $\varLambda$.
• Si cambiamos la base generadora del retículo, la región fundamental asociada también cambia. 

Si en el mismo retículo completo del ejemplo anterior cogemos la base $C = \{(0,3), (5,0)\}$, la región fundamental queda representada de la siguiente manera:

Sin embargo,

• aunque cambie la región fundamental, el "volumen n-dimensional" de la región fundamental (n-paralelepípedo o paralelótopo) es invariante. ¿Por qué? Porque se calcula con el determinante y se explicó un resultado al respecto en la anterior entrada.
• Con la región fundamental podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.