Particiones de $\mathbb{R}^n$ utilizando la región fundamental de un retículo

 La entrada anterior finalizó observando que con la región fundamental de un retículo completo podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.

 

 Esto es equivalente a afirmar que el conjunto $\{\vec{v}+\mathcal{F}(\varLambda) \mid \vec{v} \in \varLambda \}$ es una partición de $\mathbb{R}^n$. Es decir, que si hacemos la traslación de la región fundamental utilizando todos los vectores del retículo cubrimos todo el espacio y los "trozos" no se solapan.

 

Ejemplo de 2 traslaciones de una región fundamental

 

Así pues, conociendo una base $B$ de un retículo completo $\varLambda(B)$, podemos caracterizar de manera única cualquier punto/vector de $\mathbb{R}^n$ como la suma de un vector del retículo $\varLambda(B)$ con un vector de la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(B))$.

 

Por ejemplo, si retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{(5, 3), (5, 0)\}$ podemos escribir el vector $\overrightarrow{OP}=(9.2,6.8) \in \mathbb{R}^2$ como la suma de un vector del retículo $\vec{w}_1=(5,6) \in \varLambda(B)$ y un vector de la región fundamental $\vec{t}_1=(4.2,0.8) \in \mathcal{F}(\varLambda(B))$.

 

 

 

 

Región fundamental de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

Llamamos región fundamental del retículo $\varLambda(B)$ al conjunto:

$$\mathcal{F}(\varLambda(B)) = \{ \sum_{i=1}^{n}t_i·\vec{b_i} \mid t_i \in [0,1) \wedge \vec{b_i} \in B; \forall i \in \{1,...,n\} \}$$

Dicha región fundamental también es conocida como dominio fundamental o paralelepípedo fundamental.

A modo de ejemplo, retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{ (5, 3), (5, 0) \}$

 

Su región fundamental tiene la siguiente representación gráfica (importante observar la frontera):

 

Una vez definida la región fundamental, podemos realizar las siguientes observaciones:

• El $\vec{0}$ siempre pertenece a la región fundamental, independientemente de la base que genera el retículo $\varLambda$.
• Excluyendo el $\vec{0}$, los vectores de la región fundamental NO pertenecen al retículo $\varLambda$.
• Si cambiamos la base generadora del retículo, la región fundamental asociada también cambia. 

Si en el mismo retículo completo del ejemplo anterior cogemos la base $C = \{(0,3), (5,0)\}$, la región fundamental queda representada de la siguiente manera:

Sin embargo,

• aunque cambie la región fundamental, el "volumen n-dimensional" de la región fundamental (n-paralelepípedo o paralelótopo) es invariante. ¿Por qué? Porque se calcula con el determinante y se explicó un resultado al respecto en la anterior entrada.
• Con la región fundamental podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.

 

 

Determinante de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

 Podemos definir el determinante del retículo como el valor absoluto del determinante de la matriz $B$:

$$det(\varLambda) = |det(B)|$$

Dicho resultado es independiente de la base escogida, dado que si tenemos otra base $C$ del retículo $\varLambda$, en la entrada anterior vimos que:

$\varLambda(B) = \varLambda(C) \Longleftrightarrow \exists U \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \mid U$ es invertible y $C = B · U$ 

 Por tanto, si escogemos otra base $C$ que genere el mismo retículo, como U es invertible:

 $$|det(C)|= |det(B · U)| = |det(B) · det(U)| = |det(B)| · |det(U)| = |det(B)| · 1 = |det(B)|$$

 

Ejemplo:

 Utilizamos de nuevo el retículo completo $\varLambda$ sobre $\mathbb{R}^2$ generado por la base $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$.

 

 El determinante de dicho retículo es:

$$det(\varLambda) = |det(B)| = |det\pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}| = |5 · 0 - 5 · 3| = |-15| = 15$$