Las rectas en el plano pueden expresarse algebraicamente de diferentes maneras (vectorial, paramétrica, continua, explícita, implícita, punto-pendiente, etc.).
El objetivo es poder describir TODOS los puntos de la recta mediante una ecuación (o un sistema de ecuaciones). Es decir, los puntos que pertenecen a la recta cumplen la ecuación (o sistema) y los que no pertenecen a la recta no cumplen la ecuación (o sistema).
La ecuación vectorial de una recta en el plano R^2 se describe mediante la ecuación:
(x, y) = P + k · u = (P_x, P_y) + k · (u_x, u_y)
donde:
P = (P_x, P_y) es un punto cualquiera de la recta
u = (u_x, u_y) es un vector director (que marca la dirección) de la recta
k es un escalar (número real)
Si bien algebraicamente la ecuación vectorial seguramente no sea la más sencilla, cuando se entiende desde el punto de vista geométrico se convierte en una forma de expresar las rectas altamente útil en multitud de problemas.
El concepto que hay detrás de dicha ecuación no es más que la aplicación que traté en la entrada anterior sobre la multiplicación de un vector por un escalar. Si colocamos un vector sobre un punto y multiplicamos dicho vector por TODOS los escalares posibles, tenemos descritos TODOS los puntos de la recta (y únicamente ellos).
Os dejo este script interactivo de Geogebra para visualizar la ecuación vectorial en el plano de una recta que pasa por el punto P y tiene la dirección descrita por el vector u. El punto P va dejando el rastro por donde pasa y se ve cómo se van describiendo los diferentes puntos de la recta.
Se puede mover el deslizador para cambiar el escalar, el punto B para cambiar el vector y el punto P para cambiar el punto por el que debe pasar la recta. Podéis cambiar el zoom con la rueda del ratón y moveros por el plano pinchando y arrastrando sobre una zona libre.
Al mover el plano se borra el trazo pintado por el punto P.
Los saltos discretos de los puntos del rastro se deben a los saltos discretos que hacemos en el deslizador del escalar. Pensad que el escalar puede ser cualquier número real y de ahí obtenemos la "continuidad" (o densidad).
NOTA: Si desde el listado de entradas del blog no se visualiza el script abrid esta entrada en otra ventana.
PD: En el espacio R^3 todo funciona exactamente igual, con la salvedad de que trabajamos con 3 componentes en lugar de 2.
(x, y, z) = (P_x, P_y, P_z) + k · (u_x, u_y, u_z)
donde
P = (P_x, P_y, P_z) es un punto cualquiera de la recta
u = (u_x, u_y, u_z) es un vector director (que marca la dirección) de la recta
k es un escalar (número real)
