Retículos sobre espacios euclídeos R^n

 Un retículo (lattice) sobre un espacio euclídeo R^n es un subgrupo discreto de R^n.

Dicho de otra manera, un retículo es un subconjunto no vacío de vectores de R^n que cumplen:

• Conjunto discreto. Intuitivamente podemos decir que puede hallarse una distancia mínima que cumplen TODOS los pares de vectores (no hay continuidad).
• Contiene el elemento neutro (el vector 0).
• Cerrado respecto a la suma. Es decir, si dos vectores (u y v) pertenecen al retículo, entonces el resultado de su suma (u + v) también debe pertenecer al retículo.
• Cerrado respecto al opuesto. Es decir, si un vector (u) pertenece al retículo, entonces su opuesto (-u) también debe pertenecer al retículo.

Por ejemplo, sobre R^2, los vectores del tipo (2·m, 0) con m entero (vectores con final en el eje X con coordenada x par) forman un retículo.

Representación de algunos vectores del primer retículo

Otro ejemplo sobre R^2 son los vectores de la forma (5·a, 3·b) con a y b enteros.

Representación de algunos vectores del segundo retículo

Estas representaciones, aún siendo parciales, pueden llegar a ser bastante densas así que no representaremos los vectores completos sino únicamente el punto final al que apuntan. Si hacemos esto se observa que se forma una especie de red/malla/retículo.

Puntos finales de los vectores del primer retículo

Puntos finales de los vectores del segundo retículo

 Dichas mallas forma "trozos".

Los trozos que se forman en el primer retículo son segmentos de una recta (eje X)

 

Los "trozos" que se forman en el segundo retículo son rectángulos.

Si los "trozos" llenan todo el espacio decimos que el retículo es completo (de rango completo).

Sobre R^2 el primer retículo no es completo porque no cubre todo el plano, pero el segundo retículo sí.

Ecuación vectorial del plano

 En una entrada anterior se analizó la interpretación geométrica de la ecuación vectorial de una recta en el plano (R^2) y se mencionó la correspondencia con la ecuación vectorial de una recta en el espacio (R^3): 

(x, y, z) = P + k · u

 (x, y, z) = (P_x, P_y, P_z) + k · (u_x, u_y, u_z)  [Forma desplegando coordenadas]

donde:

   P = (P_x, P_y, P_z) es un punto por el que pasa la recta

   u =  (u_x, u_y, u_z) es un vector director de la recta

   k es un escalar (número real)

Al "estirar", "encoger" y/o "dar la vuelta" al vector sin cambiar la dirección todos los puntos que obtenemos están sobre una recta.

 

Analicemos ahora la siguiente ecuación en el espacio (R^3): 

(x, y, z) = P + k · u + q · v

(x, y, z) = (P_x, P_y, P_z) + k · (u_x, u_y, u_z) + q · (v_x, v_y, v_z)

donde:

   P es un punto

   u y v son vectores (con direcciones diferentes)

   k y q son escalares (número real)

Teniendo en cuenta lo que se vio en la anterior entrada sobre la combinación lineal de dos vectores, no es difícil llegar a la conclusión de que la anterior ecuación vectorial describe todos los puntos que se hallan sobre un plano.

 A diferencia de las entradas anteriores, dado que es una visualización 3D, en lugar de incrustar el script dinámico pongo el enlace a la web de Geogebra:

https://www.geogebra.org/classic/z2svwz9g 

 Veréis dos deslizadores en la barra algebraica de la izquierda que podéis mover (o darle al play) para ver el rastro que va dejando la combinación lineal acotada por el rango definido para dichos escalares.

Pinchando en cualquier punto vacío y arrastrando podemos mover la perspectiva. 

 

Combinación lineal de vectores

En entradas anteriores expliqué la suma de dos vectores y el producto de un vector por un escalar. Llamamos combinación lineal de dos vectores (u y v) cuando combinamos ambas operaciones en una expresión del tipo:

k · u + q · v            donde k y q son escalares.

Por ejemplo, en R^2, si tenemos los vectores u = (2, 2) y v = (4, -1) podemos calcular la siguiente combinación lineal (con k = 2 y q = 1.5):

k · u + q · v = 2 · (2, 2) + 1.5 · (4, -1) = (4, 4) + (6, -1.5) = (10, 2.5)

Desde el punto de vista geométrico, la combinación lineal de dos vectores consiste en primero "estirar", "acortar" y/o "dar la vuelta" a los vectores en función de lo que indiquen los escalares que los multiplican y después trazar la diagonal del paralelogramo generado.

El resultado de este procedimiento puede observarse en el siguiente script interactivo de Geogebra con dos vectores y dos deslizadores que representan los escalares que los multiplican.

Se pueden mover los deslizadores para cambiar los escalares y los puntos B y C para cambiar los vectores. Podéis cambiar el zoom con la rueda del ratón y moveros por el plano pinchando y arrastrando sobre una zona libre.

NOTA: Si desde el listado de entradas del blog no se visualiza el script abrid esta entrada en otra ventana. 

La combinación lineal puede ser de más de dos vectores y funciona exactamente igual en cualquier dimensión:

k_1 · u_1 + ... + k_n · u_n           donde u_i son vectores y k_i son escalares