Bases que generan el mismo retículo

En la teoría de retículos sobre $\mathbb{R}^n$ hay un resultado muy interesante que es el siguiente: 

Sean $\varLambda(B)$ y $\varLambda(C)$ dos retículos completos sobre $\mathbb{R}^n$ generados por las bases $B$ y $C$ respectivamente.

$\varLambda(B) = \varLambda(C) \Longleftrightarrow \exists U \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \mid U$ es invertible y $B = C · U$ 

Voy a destacar dos aplicaciones del resultado anterior.

APLICACIÓN 1. Si conocemos las bases de 2 retículos completos, podemos saber si generan el mismo retículo. Como $C$ es invertible en $M(\mathbb{R})$ (por ser base):

$$B = C · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = C^{-1} · C · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = I · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = U$$ 

Por tanto, si $C^{-1} · B \in M(\mathbb{Z})$ (todos sus elementos son enteros) y es invertible en $M(\mathbb{Z})$ (su determinante es 1 o -1), entonces $B$ y $C$ generan el mismo retículo.

 

Ejemplo: 

En la entrada anterior utilizamos la siguiente base $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$ de un retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$.

 

Y acabé afirmando que era exactamente el mismo retículo que generaría el conjunto $C = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0}$ o el conjunto $D = \pmatrix{-5 && 0 \\ 3 && -3}$.

Vamos a realizar la comprobación con $D$. Es decir, queremos llegar a la conclusión de que $B$ y $D$ generan el mismo retículo.

 

Calculamos

$D^{-1} · B = \pmatrix{-5 && 0 \\ 3 && -3}^{-1} · \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0} = \pmatrix{-1 && -1 \\ -2 && -1}$

 

Ahora calculamos su determinante:

$|D^{-1} · B| = \begin{vmatrix}-1 && -1 \\ -2 && -1\end{vmatrix} = -1$

 

Así pues, hemos visto que todos sus elementos son enteros y que el resultado del determinante es -1. Por tanto, podemos afirmar que $B$ y $D$ generan el mismo retículo.

 

Nota: las operaciones anteriores las he realizado con wxMaxima.

 

 APLICACIÓN 2. Si tenemos una base $B$ de un retículo completo $\varLambda(B)$, podemos construir otra base $C$ que genera el mismo retículo multiplicando $B$ por una matriz $U \in M_{nxn}(\mathbb{Z})$ con determinante 1 o -1.

 

Ejemplo: 

 Utilizamos el retículo completo del ejemplo anterior, generado por $C = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0}$.

Ahora creamos una matriz aleatoria con elementos enteros y cuyo determinante sea 1 o -1.

$U = \begin{pmatrix}2283 & -118\\1838 & -95\end{pmatrix}$; $|U| = -1$ 

Y multiplicamos la base original por esta matriz.

$C · U = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0} · \begin{pmatrix}2283 & -118\\1838 & -95\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9190 & -475\\6849 & -354\end{pmatrix}$

El resultado es otra base que genera el mismo retículo.

Cálculos con wxMaxima:

 

 ¿Qué utilidad puede tener generar otra base de esta manera? Esto lo trataré en otra entrada de esta serie sobre retículos.

Matrices invertibles en $M(\mathbb{Z})$

Por definición, dada una matriz $A$,

$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $\exists B$ tal que $A · B = I$   y   $B · A = I$

Donde $I$ es la matriz identidad.

De lo anterior se deduce que la matriz debe ser cuadrada. 

 

Cuando trabajamos con matrices cuyos elementos son números reales ($M(\mathbb{R})$), sabemos que

$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $|A|\neq 0$

 

 Sin embargo, si cambiamos el conjunto de matrices a aquellas cuyos elementos son números enteros ($M(\mathbb{Z})$) y queremos saber cuáles de ellas son invertibles (dentro de $M(\mathbb{Z})$) no basta con la condición sabida en $M(\mathbb{R})$.

Como el cálculo del determinante de una matriz solo implica sumas y multiplicaciones podemos afirmar que el determinante de una matriz cuyos elementos son enteros es un número entero:

$$A \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \Rightarrow|A| \in \mathbb{Z}$$

 Supongamos que tenemos una matriz invertible en $M(\mathbb{Z})$

$A \in M(\mathbb{Z})$ invertible $\Rightarrow \exists B \in M(\mathbb{Z}) \mid A · B = I$

Si aplicamos determinantes en la igualdad anterior y utilizando propiedades de los determinantes podemos deducir que:

$$A · B = I \Rightarrow |A · B| = |I|\Rightarrow |A| · |B| = |I| \Rightarrow |A| · |B| = 1$$

 De lo anterior se concluye que:

• $|A| \neq 0$  y  $|B| \neq 0$
• $|A|· |B| = 1 \Rightarrow |B| = \frac{1}{|A|} \Rightarrow \frac{1}{|A|} \in \mathbb{Z}$ 

 Por tanto, si $\frac{1}{|A|}$ debe ser un número entero solo hay dos opciones:

$|A|=1$  ó  $|A|=-1$

Es decir, hemos demostrado que si una matriz es invertible en $M(\mathbb{Z})$, entonces su determinante es 1 o -1.

La otra dirección de la implicación es igual que en $M(\mathbb{R})$, es decir, definimos la inversa como la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante (ojo aquí con las diferencias entre autores con la definición de matriz adjunta).

Solo hay que añadir que la inversa construida de esa manera pertenece a $M(\mathbb{Z})$. La transpuesta de una matriz con elementos enteros es otra matriz con elementos enteros (solo los cambiamos de lugar, no operamos nada con los números). Y la adjunta de una matriz con elementos enteros también es otra matriz con elementos enteros (solo hacemos determinantes y en su caso cambios de signo). Finalmente, como el determinante es 1 o -1, al dividir seguimos dentro de los números enteros.

Por tanto, en $M(\mathbb{Z})$

$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $|A|=1$  ó  $|A|=-1$

Ejemplo: $\pmatrix{4 && 1 && 2 \\ 3 && 1 && 1 \\ 2 && 1 && 1}$ ¿Es invertible en $M(\mathbb{Z})$?

PD: A lo mejor esta entrada aporta algo de interés a esta otra que hice.

Retículo generado por un conjunto de vectores

 Sea $B=\{\vec{b_1},...,\vec{b_m}\} \subset \mathbb{R}^n$ un subconjunto de vectores linealmente independientes.

Llamamos $\varLambda(B)$ al conjunto de TODAS las combinaciones lineales ENTERAS de los elementos de $B$.

$$ \varLambda(B) = \{  \sum_{i=1}^{m}z_i·\vec{b_i} \mid z_i \in \mathbb{Z} \}$$

$\varLambda(B)$ es un retículo sobre $\mathbb{R}^n$.

• Dado que los coeficientes de la combinación lineal son enteros y $B$ es finito, el conjunto $\varLambda(B)$ es discreto.
• Si todos los coeficientes enteros de la combinación lineal son 0, el resultado es el vector $\vec{0}$. Por tanto, $\vec{0} \in \varLambda(B)$.
• Queda por ver que es un conjunto cerrado respecto a la suma y el opuesto. Para ello verificaremos que si $\vec{u},\vec{v} \in \varLambda(B)$, entonces $\vec{u}-\vec{v} \in \varLambda(B)$. Como la resta de coeficientes enteros también es un número entero se cumple este requisito:

$$ \vec{u} \in \varLambda(B) \Rightarrow \exists \{j_1, ..., j_m\} \subset \mathbb{Z} \mid \vec{u}=\sum_{i=1}^{m}j_i·\vec{b_i} $$

$$ \vec{v} \in \varLambda(B) \Rightarrow \exists \{k_1, ..., k_m\} \subset \mathbb{Z} \mid \vec{v}=\sum_{i=1}^{m}k_i·\vec{b_i} $$

$$ \vec{u} - \vec{v} = \sum_{i=1}^{m}j_i·\vec{b_i} -  \sum_{i=1}^{m}k_i·\vec{b_i} = \sum_{i=1}^{m}(j_i-k_i)·\vec{b_i} \xrightarrow{j_i-k_i \in \mathbb{Z}} \vec{u} - \vec{v} \in  \varLambda(B)$$

En este contexto, diremos que $B$ es una base del retículo $\varLambda(B)$.

Si utilizamos la notación matricial para $B=\{\vec{b_1},...,\vec{b_m}\}$:

$$B= \begin{pmatrix}b_{1,1} & \cdots & b_{m,1}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\b_{1,n} & \cdots & b_{m,n}\end{pmatrix}$$

puede expresarse el retículo de la siguiente manera:

$$\varLambda(B) = B · \pmatrix{z_1 \\ \vdots \\ z_m} = B · \mathbb{Z}^m$$

¡OJO! Hemos optado por poner los vectores como columnas de la matriz. También es habitual ponerlos como filas por lo que hay que estar atentos a este hecho para ser coherente con las operaciones posteriores.

Ejemplo de retículo generado por un conjunto de vectores.

Sea $B = \{ (5, 3), (5, 0) \}$. Equivalentemente en notación matricial $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$.

Lo vectores son linealmente independientes: geométricamente se ve que no tienen la misma dirección y algebraicamente puede comprobarse que $Rango(B)=2$.

Teniendo en cuenta lo que se mostró en una entrada anterior sobre la combinación lineal de vectores y que los coeficientes de la combinación lineal son enteros, los vectores serán el resultado de "doblar", "triplicar", etc. los vectores originales y/o "darles la vuelta" y, en su caso, hacer diagonales.

En la siguiente imagen pueden verse algunos ejemplos sencillos:

$-\vec{u}, -\vec{v}, 2·\vec{u}, 2·\vec{u}, \vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}, \vec{v} - \vec{u}, 2 · \vec{u} - \vec{v}, 2 · \vec{v} - \vec{u}$

Si seguimos realizando combinaciones lineales enteras, quitamos los vectores y representamos únicamente el punto final de los mismos nos queda la siguiente representación del retículo generado por esos vectores:

Que es exactamente el mismo retículo que pusimos como segundo ejemplo en la entrada anterior.

Y es exactamente el mismo retículo que generaría el conjunto $C = \{(0,3), (5,0)\}$ o el conjunto $D = \{(-5,3), (0,-3)\}$.