Región fundamental de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

Llamamos región fundamental del retículo $\varLambda(B)$ al conjunto:

$$\mathcal{F}(\varLambda(B)) = \{ \sum_{i=1}^{n}t_i·\vec{b_i} \mid t_i \in [0,1) \wedge \vec{b_i} \in B; \forall i \in \{1,...,n\} \}$$

Dicha región fundamental también es conocida como dominio fundamental o paralelepípedo fundamental.

A modo de ejemplo, retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{ (5, 3), (5, 0) \}$

 

Su región fundamental tiene la siguiente representación gráfica (importante observar la frontera):

 

Una vez definida la región fundamental, podemos realizar las siguientes observaciones:

• El $\vec{0}$ siempre pertenece a la región fundamental, independientemente de la base que genera el retículo $\varLambda$.
• Excluyendo el $\vec{0}$, los vectores de la región fundamental NO pertenecen al retículo $\varLambda$.
• Si cambiamos la base generadora del retículo, la región fundamental asociada también cambia. 

Si en el mismo retículo completo del ejemplo anterior cogemos la base $C = \{(0,3), (5,0)\}$, la región fundamental queda representada de la siguiente manera:

Sin embargo,

• aunque cambie la región fundamental, el "volumen n-dimensional" de la región fundamental (n-paralelepípedo o paralelótopo) es invariante. ¿Por qué? Porque se calcula con el determinante y se explicó un resultado al respecto en la anterior entrada.
• Con la región fundamental podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.

 

 

Determinante de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

 Podemos definir el determinante del retículo como el valor absoluto del determinante de la matriz $B$:

$$det(\varLambda) = |det(B)|$$

Dicho resultado es independiente de la base escogida, dado que si tenemos otra base $C$ del retículo $\varLambda$, en la entrada anterior vimos que:

$\varLambda(B) = \varLambda(C) \Longleftrightarrow \exists U \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \mid U$ es invertible y $C = B · U$ 

 Por tanto, si escogemos otra base $C$ que genere el mismo retículo, como U es invertible:

 $$|det(C)|= |det(B · U)| = |det(B) · det(U)| = |det(B)| · |det(U)| = |det(B)| · 1 = |det(B)|$$

 

Ejemplo:

 Utilizamos de nuevo el retículo completo $\varLambda$ sobre $\mathbb{R}^2$ generado por la base $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$.

 

 El determinante de dicho retículo es:

$$det(\varLambda) = |det(B)| = |det\pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}| = |5 · 0 - 5 · 3| = |-15| = 15$$

Bases que generan el mismo retículo

En la teoría de retículos sobre $\mathbb{R}^n$ hay un resultado muy interesante que es el siguiente: 

Sean $\varLambda(B)$ y $\varLambda(C)$ dos retículos completos sobre $\mathbb{R}^n$ generados por las bases $B$ y $C$ respectivamente.

$\varLambda(B) = \varLambda(C) \Longleftrightarrow \exists U \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \mid U$ es invertible y $B = C · U$ 

Voy a destacar dos aplicaciones del resultado anterior.

APLICACIÓN 1. Si conocemos las bases de 2 retículos completos, podemos saber si generan el mismo retículo. Como $C$ es invertible en $M(\mathbb{R})$ (por ser base):

$$B = C · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = C^{-1} · C · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = I · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = U$$ 

Por tanto, si $C^{-1} · B \in M(\mathbb{Z})$ (todos sus elementos son enteros) y es invertible en $M(\mathbb{Z})$ (su determinante es 1 o -1), entonces $B$ y $C$ generan el mismo retículo.

 

Ejemplo: 

En la entrada anterior utilizamos la siguiente base $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$ de un retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$.

 

Y acabé afirmando que era exactamente el mismo retículo que generaría el conjunto $C = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0}$ o el conjunto $D = \pmatrix{-5 && 0 \\ 3 && -3}$.

Vamos a realizar la comprobación con $D$. Es decir, queremos llegar a la conclusión de que $B$ y $D$ generan el mismo retículo.

 

Calculamos

$D^{-1} · B = \pmatrix{-5 && 0 \\ 3 && -3}^{-1} · \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0} = \pmatrix{-1 && -1 \\ -2 && -1}$

 

Ahora calculamos su determinante:

$|D^{-1} · B| = \begin{vmatrix}-1 && -1 \\ -2 && -1\end{vmatrix} = -1$

 

Así pues, hemos visto que todos sus elementos son enteros y que el resultado del determinante es -1. Por tanto, podemos afirmar que $B$ y $D$ generan el mismo retículo.

 

Nota: las operaciones anteriores las he realizado con wxMaxima.

 

 APLICACIÓN 2. Si tenemos una base $B$ de un retículo completo $\varLambda(B)$, podemos construir otra base $C$ que genera el mismo retículo multiplicando $B$ por una matriz $U \in M_{nxn}(\mathbb{Z})$ con determinante 1 o -1.

 

Ejemplo: 

 Utilizamos el retículo completo del ejemplo anterior, generado por $C = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0}$.

Ahora creamos una matriz aleatoria con elementos enteros y cuyo determinante sea 1 o -1.

$U = \begin{pmatrix}2283 & -118\\1838 & -95\end{pmatrix}$; $|U| = -1$ 

Y multiplicamos la base original por esta matriz.

$C · U = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0} · \begin{pmatrix}2283 & -118\\1838 & -95\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9190 & -475\\6849 & -354\end{pmatrix}$

El resultado es otra base que genera el mismo retículo.

Cálculos con wxMaxima:

 

 ¿Qué utilidad puede tener generar otra base de esta manera? Esto lo trataré en otra entrada de esta serie sobre retículos.