Ecuación vectorial del plano

 En una entrada anterior se analizó la interpretación geométrica de la ecuación vectorial de una recta en el plano (R^2) y se mencionó la correspondencia con la ecuación vectorial de una recta en el espacio (R^3): 

(x, y, z) = P + k · u

 (x, y, z) = (P_x, P_y, P_z) + k · (u_x, u_y, u_z)  [Forma desplegando coordenadas]

donde:

   P = (P_x, P_y, P_z) es un punto por el que pasa la recta

   u =  (u_x, u_y, u_z) es un vector director de la recta

   k es un escalar (número real)

Al "estirar", "encoger" y/o "dar la vuelta" al vector sin cambiar la dirección todos los puntos que obtenemos están sobre una recta.

 

Analicemos ahora la siguiente ecuación en el espacio (R^3): 

(x, y, z) = P + k · u + q · v

(x, y, z) = (P_x, P_y, P_z) + k · (u_x, u_y, u_z) + q · (v_x, v_y, v_z)

donde:

   P es un punto

   u y v son vectores (con direcciones diferentes)

   k y q son escalares (número real)

Teniendo en cuenta lo que se vio en la anterior entrada sobre la combinación lineal de dos vectores, no es difícil llegar a la conclusión de que la anterior ecuación vectorial describe todos los puntos que se hallan sobre un plano.

 A diferencia de las entradas anteriores, dado que es una visualización 3D, en lugar de incrustar el script dinámico pongo el enlace a la web de Geogebra:

https://www.geogebra.org/classic/z2svwz9g 

 Veréis dos deslizadores en la barra algebraica de la izquierda que podéis mover (o darle al play) para ver el rastro que va dejando la combinación lineal acotada por el rango definido para dichos escalares.

Pinchando en cualquier punto vacío y arrastrando podemos mover la perspectiva. 

 

Combinación lineal de vectores

En entradas anteriores expliqué la suma de dos vectores y el producto de un vector por un escalar. Llamamos combinación lineal de dos vectores (u y v) cuando combinamos ambas operaciones en una expresión del tipo:

k · u + q · v            donde k y q son escalares.

Por ejemplo, en R^2, si tenemos los vectores u = (2, 2) y v = (4, -1) podemos calcular la siguiente combinación lineal (con k = 2 y q = 1.5):

k · u + q · v = 2 · (2, 2) + 1.5 · (4, -1) = (4, 4) + (6, -1.5) = (10, 2.5)

Desde el punto de vista geométrico, la combinación lineal de dos vectores consiste en primero "estirar", "acortar" y/o "dar la vuelta" a los vectores en función de lo que indiquen los escalares que los multiplican y después trazar la diagonal del paralelogramo generado.

El resultado de este procedimiento puede observarse en el siguiente script interactivo de Geogebra con dos vectores y dos deslizadores que representan los escalares que los multiplican.

Se pueden mover los deslizadores para cambiar los escalares y los puntos B y C para cambiar los vectores. Podéis cambiar el zoom con la rueda del ratón y moveros por el plano pinchando y arrastrando sobre una zona libre.

NOTA: Si desde el listado de entradas del blog no se visualiza el script abrid esta entrada en otra ventana. 

La combinación lineal puede ser de más de dos vectores y funciona exactamente igual en cualquier dimensión:

k_1 · u_1 + ... + k_n · u_n           donde u_i son vectores y k_i son escalares

Ecuación vectorial de una recta

Las rectas en el plano pueden expresarse algebraicamente de diferentes maneras (vectorial, paramétrica, continua, explícita, implícita, punto-pendiente, etc.).

El objetivo es poder describir TODOS los puntos de la recta mediante una ecuación (o un sistema de ecuaciones). Es decir, los puntos que pertenecen a la recta cumplen la ecuación (o sistema) y los que no pertenecen a la recta no cumplen la ecuación (o sistema).

La ecuación vectorial de una recta en el plano R^2 se describe mediante la ecuación:

(x, y) = P + k · u = (P_x, P_y) + k · (u_x, u_y)

donde:

P = (P_x, P_y) es un punto cualquiera de la recta

u = (u_x, u_y) es un vector director (que marca la dirección) de la recta

k es un escalar (número real) 

 

Si bien algebraicamente la ecuación vectorial seguramente no sea la más sencilla, cuando se entiende desde el punto de vista geométrico se convierte en una forma de expresar las rectas altamente útil en multitud de problemas.

El concepto que hay detrás de dicha ecuación no es más que la aplicación que traté en la entrada anterior sobre la multiplicación de un vector por un escalar. Si colocamos un vector sobre un punto y multiplicamos dicho vector por TODOS los escalares posibles, tenemos descritos TODOS los puntos de la recta (y únicamente ellos).

Os dejo este script interactivo de Geogebra para visualizar la ecuación vectorial en el plano de una recta que pasa por el punto P y tiene la dirección descrita por el vector u. El punto P va dejando el rastro por donde pasa y se ve cómo se van describiendo los diferentes puntos de la recta.

Se puede mover el deslizador para cambiar el escalar, el punto B para cambiar el vector y el punto P para cambiar el punto por el que debe pasar la recta. Podéis cambiar el zoom con la rueda del ratón y moveros por el plano pinchando y arrastrando sobre una zona libre.

Al mover el plano se borra el trazo pintado por el punto P. 

Los saltos discretos de los puntos del rastro se deben a los saltos discretos que hacemos en el deslizador del escalar. Pensad que el escalar puede ser cualquier número real y de ahí obtenemos la "continuidad" (o densidad).

NOTA: Si desde el listado de entradas del blog no se visualiza el script abrid esta entrada en otra ventana. 

 

PD: En el espacio R^3 todo funciona exactamente igual, con la salvedad de que trabajamos con 3 componentes en lugar de 2.

(x, y, z) = (P_x, P_y, P_z) + k · (u_x, u_y, u_z)

donde

P = (P_x, P_y, P_z) es un punto cualquiera de la recta

u = (u_x, u_y, u_z) es un vector director (que marca la dirección) de la recta

k es un escalar (número real)