Bases ortogonales

Es sabido que en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ un conjunto de $n$ vectores linealmente independientes forman una base del espacio.

Decimos que una base es ortogonal cuando los vectores de la base son ortogonales dos a dos, es decir, que su producto escalar es 0:

$$ b_{i} · b_{j} = 0; \forall i,j \in \{1,...,n\} \mid i \neq j$$

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ la base canónica $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ es una base ortogonal. Todos los productos escalares dan 0:

$(1,0,0)·(0,1,0)=0+0+0=0$

$(1,0,0)·(0,0,1)=0+0+0=0$

$(0,1,0)·(0,0,1)=0+0+0=0$

Los vectores forman ángulos rectos entre ellos.

Sin embargo, la base $\{(1,0,0),(1,1,1),(0,2,1)\}$ no es una base ortogonal. Por ejemplo, el siguiente producto escalar no da 0:

$(1,1,1)·(0,2,1)=0+2+1=3 \neq 0$

Existen vectores que no forman un ángulo recto.

 

Particiones de $\mathbb{R}^n$ utilizando la región fundamental de un retículo

 La entrada anterior finalizó observando que con la región fundamental de un retículo completo podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.

 

 Esto es equivalente a afirmar que el conjunto $\{\vec{v}+\mathcal{F}(\varLambda) \mid \vec{v} \in \varLambda \}$ es una partición de $\mathbb{R}^n$. Es decir, que si hacemos la traslación de la región fundamental utilizando todos los vectores del retículo cubrimos todo el espacio y los "trozos" no se solapan.

 

Ejemplo de 2 traslaciones de una región fundamental

 

Así pues, conociendo una base $B$ de un retículo completo $\varLambda(B)$, podemos caracterizar de manera única cualquier punto/vector de $\mathbb{R}^n$ como la suma de un vector del retículo $\varLambda(B)$ con un vector de la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(B))$.

 

Por ejemplo, si retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{(5, 3), (5, 0)\}$ podemos escribir el vector $\overrightarrow{OP}=(9.2,6.8) \in \mathbb{R}^2$ como la suma de un vector del retículo $\vec{w}_1=(5,6) \in \varLambda(B)$ y un vector de la región fundamental $\vec{t}_1=(4.2,0.8) \in \mathcal{F}(\varLambda(B))$.

 

 

 

 

Región fundamental de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

Llamamos región fundamental del retículo $\varLambda(B)$ al conjunto:

$$\mathcal{F}(\varLambda(B)) = \{ \sum_{i=1}^{n}t_i·\vec{b_i} \mid t_i \in [0,1) \wedge \vec{b_i} \in B; \forall i \in \{1,...,n\} \}$$

Dicha región fundamental también es conocida como dominio fundamental o paralelepípedo fundamental.

A modo de ejemplo, retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{ (5, 3), (5, 0) \}$

 

Su región fundamental tiene la siguiente representación gráfica (importante observar la frontera):

 

Una vez definida la región fundamental, podemos realizar las siguientes observaciones:

• El $\vec{0}$ siempre pertenece a la región fundamental, independientemente de la base que genera el retículo $\varLambda$.
• Excluyendo el $\vec{0}$, los vectores de la región fundamental NO pertenecen al retículo $\varLambda$.
• Si cambiamos la base generadora del retículo, la región fundamental asociada también cambia. 

Si en el mismo retículo completo del ejemplo anterior cogemos la base $C = \{(0,3), (5,0)\}$, la región fundamental queda representada de la siguiente manera:

Sin embargo,

• aunque cambie la región fundamental, el "volumen n-dimensional" de la región fundamental (n-paralelepípedo o paralelótopo) es invariante. ¿Por qué? Porque se calcula con el determinante y se explicó un resultado al respecto en la anterior entrada.
• Con la región fundamental podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.