Determinante de un retículo

 Sea $\varLambda$ un retículo completo sobre $\mathbb{R}^n$. Sea $B$ una base que genera el retículo $\varLambda$.

 Podemos definir el determinante del retículo como el valor absoluto del determinante de la matriz $B$:

$$det(\varLambda) = |det(B)|$$

Dicho resultado es independiente de la base escogida, dado que si tenemos otra base $C$ del retículo $\varLambda$, en la entrada anterior vimos que:

$\varLambda(B) = \varLambda(C) \Longleftrightarrow \exists U \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \mid U$ es invertible y $C = B · U$ 

 Por tanto, si escogemos otra base $C$ que genere el mismo retículo, como U es invertible:

 $$|det(C)|= |det(B · U)| = |det(B) · det(U)| = |det(B)| · |det(U)| = |det(B)| · 1 = |det(B)|$$

 

Ejemplo:

 Utilizamos de nuevo el retículo completo $\varLambda$ sobre $\mathbb{R}^2$ generado por la base $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$.

 

 El determinante de dicho retículo es:

$$det(\varLambda) = |det(B)| = |det\pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}| = |5 · 0 - 5 · 3| = |-15| = 15$$

Bases que generan el mismo retículo

En la teoría de retículos sobre $\mathbb{R}^n$ hay un resultado muy interesante que es el siguiente: 

Sean $\varLambda(B)$ y $\varLambda(C)$ dos retículos completos sobre $\mathbb{R}^n$ generados por las bases $B$ y $C$ respectivamente.

$\varLambda(B) = \varLambda(C) \Longleftrightarrow \exists U \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \mid U$ es invertible y $B = C · U$ 

Voy a destacar dos aplicaciones del resultado anterior.

APLICACIÓN 1. Si conocemos las bases de 2 retículos completos, podemos saber si generan el mismo retículo. Como $C$ es invertible en $M(\mathbb{R})$ (por ser base):

$$B = C · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = C^{-1} · C · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = I · U \Leftrightarrow C^{-1} · B = U$$ 

Por tanto, si $C^{-1} · B \in M(\mathbb{Z})$ (todos sus elementos son enteros) y es invertible en $M(\mathbb{Z})$ (su determinante es 1 o -1), entonces $B$ y $C$ generan el mismo retículo.

 

Ejemplo: 

En la entrada anterior utilizamos la siguiente base $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$ de un retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$.

 

Y acabé afirmando que era exactamente el mismo retículo que generaría el conjunto $C = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0}$ o el conjunto $D = \pmatrix{-5 && 0 \\ 3 && -3}$.

Vamos a realizar la comprobación con $D$. Es decir, queremos llegar a la conclusión de que $B$ y $D$ generan el mismo retículo.

 

Calculamos

$D^{-1} · B = \pmatrix{-5 && 0 \\ 3 && -3}^{-1} · \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0} = \pmatrix{-1 && -1 \\ -2 && -1}$

 

Ahora calculamos su determinante:

$|D^{-1} · B| = \begin{vmatrix}-1 && -1 \\ -2 && -1\end{vmatrix} = -1$

 

Así pues, hemos visto que todos sus elementos son enteros y que el resultado del determinante es -1. Por tanto, podemos afirmar que $B$ y $D$ generan el mismo retículo.

 

Nota: las operaciones anteriores las he realizado con wxMaxima.

 

 APLICACIÓN 2. Si tenemos una base $B$ de un retículo completo $\varLambda(B)$, podemos construir otra base $C$ que genera el mismo retículo multiplicando $B$ por una matriz $U \in M_{nxn}(\mathbb{Z})$ con determinante 1 o -1.

 

Ejemplo: 

 Utilizamos el retículo completo del ejemplo anterior, generado por $C = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0}$.

Ahora creamos una matriz aleatoria con elementos enteros y cuyo determinante sea 1 o -1.

$U = \begin{pmatrix}2283 & -118\\1838 & -95\end{pmatrix}$; $|U| = -1$ 

Y multiplicamos la base original por esta matriz.

$C · U = \pmatrix{0 && 5 \\ 3 && 0} · \begin{pmatrix}2283 & -118\\1838 & -95\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9190 & -475\\6849 & -354\end{pmatrix}$

El resultado es otra base que genera el mismo retículo.

Cálculos con wxMaxima:

 

 ¿Qué utilidad puede tener generar otra base de esta manera? Esto lo trataré en otra entrada de esta serie sobre retículos.

Matrices invertibles en $M(\mathbb{Z})$

Por definición, dada una matriz $A$,

$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $\exists B$ tal que $A · B = I$   y   $B · A = I$

Donde $I$ es la matriz identidad.

De lo anterior se deduce que la matriz debe ser cuadrada. 

 

Cuando trabajamos con matrices cuyos elementos son números reales ($M(\mathbb{R})$), sabemos que

$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $|A|\neq 0$

 

 Sin embargo, si cambiamos el conjunto de matrices a aquellas cuyos elementos son números enteros ($M(\mathbb{Z})$) y queremos saber cuáles de ellas son invertibles (dentro de $M(\mathbb{Z})$) no basta con la condición sabida en $M(\mathbb{R})$.

Como el cálculo del determinante de una matriz solo implica sumas y multiplicaciones podemos afirmar que el determinante de una matriz cuyos elementos son enteros es un número entero:

$$A \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \Rightarrow|A| \in \mathbb{Z}$$

 Supongamos que tenemos una matriz invertible en $M(\mathbb{Z})$

$A \in M(\mathbb{Z})$ invertible $\Rightarrow \exists B \in M(\mathbb{Z}) \mid A · B = I$

Si aplicamos determinantes en la igualdad anterior y utilizando propiedades de los determinantes podemos deducir que:

$$A · B = I \Rightarrow |A · B| = |I|\Rightarrow |A| · |B| = |I| \Rightarrow |A| · |B| = 1$$

 De lo anterior se concluye que:

• $|A| \neq 0$  y  $|B| \neq 0$
• $|A|· |B| = 1 \Rightarrow |B| = \frac{1}{|A|} \Rightarrow \frac{1}{|A|} \in \mathbb{Z}$ 

 Por tanto, si $\frac{1}{|A|}$ debe ser un número entero solo hay dos opciones:

$|A|=1$  ó  $|A|=-1$

Es decir, hemos demostrado que si una matriz es invertible en $M(\mathbb{Z})$, entonces su determinante es 1 o -1.

La otra dirección de la implicación es igual que en $M(\mathbb{R})$, es decir, definimos la inversa como la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante (ojo aquí con las diferencias entre autores con la definición de matriz adjunta).

Solo hay que añadir que la inversa construida de esa manera pertenece a $M(\mathbb{Z})$. La transpuesta de una matriz con elementos enteros es otra matriz con elementos enteros (solo los cambiamos de lugar, no operamos nada con los números). Y la adjunta de una matriz con elementos enteros también es otra matriz con elementos enteros (solo hacemos determinantes y en su caso cambios de signo). Finalmente, como el determinante es 1 o -1, al dividir seguimos dentro de los números enteros.

Por tanto, en $M(\mathbb{Z})$

$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $|A|=1$  ó  $|A|=-1$

Ejemplo: $\pmatrix{4 && 1 && 2 \\ 3 && 1 && 1 \\ 2 && 1 && 1}$ ¿Es invertible en $M(\mathbb{Z})$?

PD: A lo mejor esta entrada aporta algo de interés a esta otra que hice.