Todo comienza en un viaje familiar que inicia las vacaciones de verano. Un rato muerto. Una baraja española. Un recuerdo de juego en mi infancia. Y tras ir volteando cartas y diciendo los números consecutivos y "perder" casi todas las veces surge la pregunta: ¿qué probabilidad hay de ganar a este juego?
Y ya tenemos la chispa encendida. Y siguen un papel y un boli con la probabilidad clásica, combinatoria, árboles y simplificaciones del problema para entender la magnitud real del mismo. Y la magnitud es demasiado grande para mis papeles. ¿Y si cojo el ordenador y programo un poco para contestar a la pregunta? Pero ahí también surgen dificultades.
Pero, como sucede con cierta frecuencia, en el proceso de investigar y buscar estrategias aparecen nuevos conocimientos que acaban hilándose hasta llegar al culmen.
Así que decidí dedicar algunos ratos libres para programar e ir contando en este blog todo de manera gradual y por fascículos.
Y antes de introducir el problema "grande" escribí esta entrada con un problema de urnas y bolas; y en esta otra entrada la solución (con la inesperada visita del número e). Intercalé esta entrada sobre el subfactorial y los desarreglos, que "casualidades de la vida" se utilizaban en la solución.
Parecía el fin de la cuestión y como quien cambia de tema aparece esta entrada sobre los polinomios de Laguerre y cómo calcularlos con Python y wxMaxima.
Y ahora sí, llega el problema original con la baraja de cartas. Enunciado en esta entrada, y primera solución es esta otra entrada. Pero nos encontramos con un problema de tiempos razonables de ejecución así que en esta nueva entrada cuento cómo hacer una aproximación empírica a la solución del problema.
Pero queda la traca final que pone fin a esta serie de entradas, como ya se ha puesto fin a la vacaciones de verano.
Resulta que existe una fórmula para calcular una generalización de los desarreglos cuando tenemos elementos que se repiten.
Teniendo r elementos diferentes, el primero que se repite n1 veces, el segundo n2 veces y así sucesivamente, el número de desarreglos viene dado por:
Donde
Pn_i es el polinomio de Laguerre de grado
n_i. (
Fuente)
Por ejemplo, en una situación con 3 elementos que se repiten 1, 5 y 7 veces respectivamente, dentro de la integral definida tendremos (además de la exponencial de -x) los polinomios de Laguerre de grado 1, de grado 5 y de grado 7.
Por tanto, en nuestro problema original (13 números repetidos 4 veces), dentro de la integral tendremos 13 veces el polinomio de Laguerre de grado 4 (y la exponencial). Así que resolviendo esa integral podemos obtener la solución del problema.
En wxMaxima es muy sencillo y rápido (código en github):
Y la implementación en Python puede encontrarse también en mi repositorio de Matemática Recreativa de Github (
ver código).
Con un tiempo de ejecución muy pequeño tenemos la respuesta al problema: la probabilidad de ganar en las condiciones planteadas es de aproximadamente 1,62%.
Recordad que con la estrategia de simulación empírica obtuvimos aproximadamente 1,63%. En este caso no necesitamos simulaciones, porque las Matemáticas tienen una manera relativamente sencilla de calcularlo, pero cabe destacar que la aproximación realizada es bastante buena.
¿Quién me iba a decir en casa de mi familiar cuando estaba jugando con la baraja española que acabaría utilizando
integrales definidas con polinomios de Laguerre para contestar a mi pregunta sobre la probabilidad de ganar en el juego?
Pero una cosa sí que tengo constatada, cuando se dispone de tiempo libre siempre surgen buenas ideas. La rutina diaria y el ritmo de vida acelerado nos bloquean la creatividad.
