En la entrada titulada La prueba del 9 hablé sobre el funcionamiento y fundamentos de dicha prueba para encontrar errores en operaciones efectuadas. En otra entrada, titulada La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?), hablé sobre el papel que jugaba el 9 y las ventajas e inconvenientes que presentaba cambiar el 9 por otro número. En esa última entrada recogía una cita del libro Aritmética Recreativa de Yakov Perelman que decía:
"La verificación complementaria del siete, es bastante agotadora. (...) en lugar de dividir por 7 resulta más conveniente dividir por 11."
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| Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Yakov_Perelman.jpg |
En aquel momento no quise profundizar más en ello para no extender en exceso aquella entrada, pero me llamó la atención que la prueba del 11 que proponía Perelman no es exactamente el criterio de divisibilidad del 11 que suele enseñarse en los libros de texto. A continuación cito las palabras de Perelman:
"Además, se puede simplificar en gran medida el procedimiento, aplicando la siguiente prueba conveniente de divisibilidad entre 11: se descompone el número, de derecha a izquierda, en grupos de dos cifras (el último grupo de la izquierda puede tener una sola cifra); se suman los gripos obtenidos y la suma obtenida será “congruente” con el número examinado conforme al divisor 11: la suma de las partes da en la división entre 11, el mismo residuo que el número examinado.
Aclaremos lo indicado con un ejemplo. Se desea hallar el residuo de la división 24716 entre 11.
Descompongamos el número en partes y sumémoslas:
2 + 47 + 16 = 65
Puesto
que al dividir 65 entre 11 da como residuo 10, el número 24716, da el
mismo residuo al dividirlo entre 11. En mi libro “Matemáticas
Recreativas”, se explican las bases de este método."
Si acudimos al apartado 45 del capítulo 5 de su libro Matemática Recreativa, encontramos esa otra forma del criterio de divisibilidad del 11, la que aparece en los libros de texto (los que recogen dicho criterio). Cito:
¿Por qué cambia Perelman de un libro a otro la forma del criterio de divisibilidad entre 11?
Porque en cada libro está interesado en conocer cosas distintas. En el fragmento de Matemática Recreativa, Perelman describe un método para conocer si un número es múltiplo de 11. Sin embargo, en el fragmento de Aritmética Recreativa, Perelman busca un método para conocer el resto de dividir un número entre 11. ¿No es lo mismo? No, son cosas que están relacionadas, pero distintas al fin y al cabo.
El método que describe Perelman en Matemática Recreativa, el que aparece en los libros de texto que recogen el criterio de divisibilidad del 11, sirve para el propósito de saber si un número es o no múltiplo de 11, pero siguiendo ese procedimiento no siempre obtenemos correctamente el resto de la división.
Veamos un ejemplo muy sencillo:
Aplicamos el criterio de divisibilidad del 11 al número 32.
La suma de las cifras que ocupan un lugar impar es 2.
La suma de las cifras que ocupan un lugar par es 3.
La diferencia (mayor-menor) es 3-2=1.
Luego 32 no es múltiplo de 11. Hasta aquí bien. Pero obsérvese que el resto de dividir 32 entre 11 no es 1, sino 10.
De modo similar a lo que hice en la entrada ¿2008 es divisible entre 8? vamos a utilizar la aritmética modular para razonar un criterio de divisibilidad del 11.
Nuestro sistema decimal posicional nos permite escribir cualquier número utilizando la siguiente expresión:
En aritmética modular, módulo 11, el 10 es congruente con -1 (11-1=10). Por tanto, la clave del proceso está en que las potencias de 10 son congruentes (módulo 11) con 1 o -1, dependiendo si el exponente es par o impar respectivamente. Es decir (las siguientes igualdades son congruencias módulo 11):
10⁰ = 1
10¹ = (-1)¹ = -1
10² = (-1)² = 1
10³ = (-1)³ = -1
10⁴ = (-1)⁴ = 1
...
Por lo que el número X queda de la siguiente manera (módulo 11):
"Para
resolver este problema hay que saber en qué casos es un número
divisible por 11. Un número es divisible por 11 si la diferencia entre
la suma de los valores absolutos de las cifras colocadas en los lugares
pares y la suma de los valores de las colocadas en los lugares impares,
es divisible por 11 o igual a cero.
Por ejemplo, hagamos la prueba con el número 23 658 904. La suma total de las cifras colocadas en los lugares pares es:
Por ejemplo, hagamos la prueba con el número 23 658 904. La suma total de las cifras colocadas en los lugares pares es:
3 + 5 + 9 + 4 = 21
La suma de las cifras colocadas en los lugares impares es:
2 + 6 + 8 + 0 = 16
La diferencia entre estas sumas (hay que restar del número mayor el menor) es:
21 - 16 = 5
Esta
diferencia (5) no se divide por 11, lo que quiere decir que el número
no es divisible por 11. Probemos el número 7 344 535:
3 + 4 + 3 = 10
7 + 4 + 5 + 5 = 21
21 - 10 = 11
Como el 11 se divide por 11, el número que hemos probado es múltiplo de 11."
¿Por qué cambia Perelman de un libro a otro la forma del criterio de divisibilidad entre 11?
Porque en cada libro está interesado en conocer cosas distintas. En el fragmento de Matemática Recreativa, Perelman describe un método para conocer si un número es múltiplo de 11. Sin embargo, en el fragmento de Aritmética Recreativa, Perelman busca un método para conocer el resto de dividir un número entre 11. ¿No es lo mismo? No, son cosas que están relacionadas, pero distintas al fin y al cabo.
El método que describe Perelman en Matemática Recreativa, el que aparece en los libros de texto que recogen el criterio de divisibilidad del 11, sirve para el propósito de saber si un número es o no múltiplo de 11, pero siguiendo ese procedimiento no siempre obtenemos correctamente el resto de la división.
Veamos un ejemplo muy sencillo:
Aplicamos el criterio de divisibilidad del 11 al número 32.
La suma de las cifras que ocupan un lugar impar es 2.
La suma de las cifras que ocupan un lugar par es 3.
La diferencia (mayor-menor) es 3-2=1.
Luego 32 no es múltiplo de 11. Hasta aquí bien. Pero obsérvese que el resto de dividir 32 entre 11 no es 1, sino 10.
De modo similar a lo que hice en la entrada ¿2008 es divisible entre 8? vamos a utilizar la aritmética modular para razonar un criterio de divisibilidad del 11.
Nuestro sistema decimal posicional nos permite escribir cualquier número utilizando la siguiente expresión:
X = an · 10n + a(n-1) · 10(n-1) + … + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 10 + a0
En aritmética modular, módulo 11, el 10 es congruente con -1 (11-1=10). Por tanto, la clave del proceso está en que las potencias de 10 son congruentes (módulo 11) con 1 o -1, dependiendo si el exponente es par o impar respectivamente. Es decir (las siguientes igualdades son congruencias módulo 11):
10⁰ = 1
10¹ = (-1)¹ = -1
10² = (-1)² = 1
10³ = (-1)³ = -1
10⁴ = (-1)⁴ = 1
...
Por lo que el número X queda de la siguiente manera (módulo 11):
X = an · (-1)n + a(n-1) · (-1)(n-1) + … - a3 + a2 - a1 + a0
Es decir, un número será congruente (módulo 11) con la suma de las cifras que ocupan una posición impar (empezando a contar como primera la cifra de las unidades) a la que restamos la suma de las cifras que ocupan una posición par.
En el ejemplo sencillo del número 32, la suma de las cifras que ocupan posición impar es 2 y la suma de las cifras que ocupan posición par es 3. Seǵun el criterio descrito anteriormente, 32 es congruente (módulo 11) con 2-3=-1. Es decir, que el resto de dividir 32 entre 11 es 10 (11-1). Aquí tenemos la explicación de por qué el criterio que utiliza primero Perelman (y que aparece también en libros de texto) no sirve, tal y como se explica, para conocer el resto de una división entre 11.
Para calcular el resto no es correcto calcular la diferencia (mayor-menor) sino que debe hacerse la resta en el orden que surge en la justificación del proceso:
"suma de cifras en posición impar" - "suma de cifras en posición par"
Cuando la diferencia es 0 (o múltiplo de 11) el orden es indiferente y se concluye que el número es múltiplo de 11, pero para otros casos el papel de minuendo y sustraendo puede ser fundamental.
Otro ejemplo:
Calcular el resto de la división 9347852356 : 11.
Suma de las cifras que ocupan posición impar: 3+7+5+3+6 = 24.
Suma de las cifras que ocupan posición par: 9+4+8+2+5 = 28.
El resto vendrá dado por 24-28 = -4 = 7 (módulo 11).
Entonces, ¿por qué no se dice que se reste siempre en el orden que toca? Con eso el problema estaría solucionado y no sería necesario describir otros métodos alternativos para calcular el resto. Lo cierto es que desconozco las razones. Una posible hipótesis es que se quiera evitar el trabajo con números negativos, especialmente si el objetivo no es conocer el resto de la división sino saber únicamente si el número es o no múltiplo de 11.
