En la entrada anterior hice un repaso rápido de qué son las bases ortogonales. Ahora voy a tratar el siguiente tema:
¿Hay alguna manera de cuantificar si una base está cerca o lejos de ser ortogonal?
La respuesta es sí.
Una manera de hacerlo es utilizando una aplicación de la desigualdad de Hadamard.
Dada una base $B = \{ \vec{b}_1, ..., \vec{b}_n \}$ del espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$:
$$|det(B)| \leq \prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|$$
Desde el punto de vista geométrico, la desigualdad anterior nos aporta una cota superior del volumen del n-paralelepídedo formado por $B$.
Pero para el caso que nos ocupa, es muy útil conocer que dicha desigualdad se convierte en igualdad cuando la base es ortogonal por lo que nos permite definir la siguiente "razón de ortogonalidad de Hadamart":
$$\frac{|det(B)|}{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|} $$
Dicho valor estará comprendido en el intervalo $(0,1]$ y será exactamente 1 cuando la base sea ortogonal. Cuanto más "cerca" esté una base de ser ortogonal, más cerca de 1 estará el valor de la razón anterior. Cuanto más "lejos" esté una base de ser ortogonal, más cerca de 0 estará dicho valor.
Desde un punto de vista intuitivo e informal, estamos diciendo que si fijamos el módulo de los vectores que generan un n-paralelepídedo entonces el volumen es máximo cuando estos son ortogonales (en el momento en el que variamos alguno de los ángulos el volumen del n-paralelepípedo baja). Por tanto, si comparamos el volumen del n-paralelepípedo generado por los vectores de la base con el volumen máximo (caso ortogonal) podemos tener una idea de si la base está "cerca" o "lejos" de ser ortogonal.
Vamos a calcular dicha razón en los ejemplos de la entrada anterior en $\mathbb{R}^3$.
Comenzamos con la base canónica $C = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$:
$|det(C)|=1$
$\|(1,0,0)\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1$
$\|(0,1,0)\|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1$
$\|(0,0,1)\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$
Por tanto,
$$\frac{|det(C)|}{\prod_{i=1}^{n}||\vec{c}_i||} = \frac{1}{1} = 1$$
Es decir, como el valor da 1 podemos afirmar que la base es ortogonal.
En el caso de la otra base utilizada, $D = \{(1,0,0),(1,1,1),(0,2,1)\}$
$|det(D)|=1$
$\|(1,0,0)\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1$
$\|(1,1,1)\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$
$\|(0,2,1)\|=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt{5}$
Por tanto,
$$\frac{|det(D)|}{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{d}_i\|} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \simeq 0.2581$$
Da un valor alejado de 1 por lo que podemos afirmar que la base "está lejos" de ser ortogonal.
En realidad resultaría de utilidad tener una "medida" normalizada y comparable entre dimensiones. Si añadimos una raíz n-ésima tendremos una especie de "media geométrica del grado de normalidad por vector". Así pues, es más frecuente utilizar la siguiente expresión cuando se habla de la razón de ortogonalidad de Hadamart:
$$H(B) = \sqrt[n]{\frac{|det(B)|}{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|}} $$
Otros autores hablan del defecto de ortogonalidad de una base definiéndola de la siguiente manera:
$$\vartriangle(B) = \frac{\prod_{i=1}^{n}\|\vec{b}_i\|}{|det(B)|} $$
de manera que cuánto mayor es el cociente "menor" es la ortogonalidad de la base (que sigue siendo 1 para bases ortogonales).
PD: Entrada de Wikipedia sobre el matemático francés Jacques Hadamard.
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