Comprando peras y manzanas

Hoy me he encontrado con este problema en el libro de texto de una conocida editorial.

Traducción: He comprado manzanas y peras. Las manzanas me han costado 2,20 €/kg, y las peras, 2,35 €/kg. En total he comprado 6 kg y me han costado 13,50 €/kg.
¿Cuántos kilos de cada fruta llevo?

Sólo leyendo (sin lápiz, ni papel, ni calculadora) tenemos que saber responder lo anterior. Y no, no estoy hablando de cálculo mental, sino de pensar sobre el sentido de las cosas. Porque seguro que ese es el motivo por el que la editorial incluyó en su libro esta actividad, ¿no?

¿Cuántos alumnos contestan a la pregunta sin plantear un sistema de ecuaciones (que es de lo que trata el tema en el que está ubicada la actividad)?

Y ¿cuántos alumnos aún planteando y resolviendo bien el sistema de ecuaciones no saben responder a la pregunta?

¿2008 es divisible por 8?

Publicado originalmente el 24 de diciembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Es una pregunta muy sencilla. Basta dividir 2008 entre 8 y ver si el resto es 0.

Como 8 es 2 · 2 · 2, otra opción es hacer la mitad de la mitad de la mitad y si siempre da un número natural, entonces el número es divisible por 8 (en ocasiones mentalmente resulta más fácil hacer tres veces la mita que dividir entre 8). Pero ésto sigue siendo dividir el número entre 8 (aunque sea de otra manera).

¿Hay otra manera de saber si un número es divisible por 8? Ésto es lo que se conoce con el nombre de criterio de divisibilidad (en este caso del 8). En todos los libros de texto de Primaria y Secundaria podemos encontrar (sin justificación) los criterios de divisibilidad del 2, del 3, del 5 y del 10 (y con suerte alguno más como el 9 o el 11).

Para aquellos que no lo saben (o no se acuerdan) intentemos descubrir algún criterio de divisibilidad por 8.

Sea X un número que en base decimal escribiríamos de la siguiente forma:

X = a_na_(n-1)…a₃a₂a₁a₀ donde cada a_i es un dígito del 0 al 9 (incluidos)

En realidad ésto es una notación que utilizamos para simplificar la expresión:

X = a_n · 10ⁿ + a_(n-1) · 10^(n-1) + … + a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

Recordemos que hemos dicho que un número es divisible por 8 si el resto de la división entre 8 da 0. Por tanto, ésto es equivalente a decir que el número es congruente con 0 (módulo 8). (Nota: A partir de este momento algunas igualdades son congruencias módulo 8.)

Antes de ver la congruencia módulo 8 de nuestro número veamos qué congruencia módulo 8 tienen las potencias de 10:

10 = 2 ( ya que 2 es el resto de la división 10:8 )

10² = 100 = 4 ( ya que 4 es el resto de la división 100:8)

10³ = 1000 = 0 ( ya que 1000 es divisible por 8 )

10^m = 10³ · 10^m-3 = 0 · 10^m-3 = 0 Es decir, toda potencia de 10 mayor que 100 es divisible por 8.

Por tanto, observemos la congruencia módulo 8 de nuestro número:

X = a_n · 10ⁿ + a_(n-1) · 10^(n-1) + … + a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

= a_n · 0 + a_(n-1) · 0 + … + a₃ · 0 + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀ = a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

Así pues, hemos deducido que un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras (a₂a₁a₀) es divisible por 8.

De esta forma, el caso de 2008 es muy fácil ya que sólo tenemos que comprobar si 008 = 8 es divisible por 8. También es muy fácil saber si el número 6516874654684765463486800 es divisible por 8 sólo con un vistazo utilizando el criterio de divisibilidad (en este caso yo mentalmente no llego a hacer la mitad de este número)

PD1: El razonamiento seguido para llegar al criterio de divisibilidad del 8 es análogo para criterios de divisibilidad de muchos otros números. Quien quiera puede demostrar los criterios que siempre ha utilizado sin saber por qué y deducir otros que no son tan conocidos.

PD2: Desde mi punto de vista, salvo en la implementación de algoritmos en ordenadores, el objetivo de los criterios de divisibilidad debe ser simplificar un cálculo que queremos realizar. Cuando el criterio se vuelve más complejo que la propia división no tienen ningún sentido utilizarlo (por ejemplo el criterio de divisibilidad por 7).

PD3: También podíamos haber dicho que el criterio de divisibilidad del 8 es comprobar si 4 veces la cifra de las centenas más dos veces la cifra de las decenas más la cifra de las unidades (4 · a₂ + 2 · a₁ + a₀) es divisible por 8, pero se aplica lo que he dicho en PD2.

Histograma o diagrama de barras

Publicado originalmente el 14 de octubre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

¿Qué es un histograma? ¿Es lo mismo que un diagrama de barras?

Parece que no todos tenemos clara cuál es la respuesta. Y si uno empieza a consultar libros de Secundaria, de universidad, Internet... acabamos de liarnos, porque cada uno dice la suya.

A continuación pongo los gráficos que creo son correctos:

Diagrama de barras: idóneo para representar gŕaficamente los datos de una variable cuantitativa discreta (o cualitativa). Las modalidades de la variable se representan en el eje X y se levanta una barra de altura igual a la frecuencia de cada modalidad.

La elección del eje X para las modalidades y el eje Y para las frecuencias es arbitraria y no es raro ver diagramas con las modalidades en el eje Y.

Histograma: se utiliza para representar gráficamente los datos de una variable continua (o cuantitativa discreta con muchas modalidades), que han sido agrupados en (intervalos de) clases. En un eje (X) representamos las clases, teniendo en cuenta la amplitud de los intervalos, y en el otro eje (Y) levantamos un rectángulo de área igual a la frecuencia de la clase.

Una de las utilidades del histograma es poder ver de qué manera se distribuyen los datos (distribución de la variable). Y como ya hemos dicho, en los histogramas, a diferencia de los diagramas de barras, no es la altura la que determina la frecuencia de cada clase, sino el área del rectángulo. Y esto lo hacen mal en muchos libros de secundaria. Si todos los intervalos tienen la misma amplitud no hay problema, pero si no es así y cogemos una definición de histograma que diga que tenemos que levantar un rectángulo de altura igual a la frecuencia, entonces eso no es un histograma (es una especie de diagrama de barras para variables cuantitativas continuas) y no nos sirve para observar la distribución de la variable.

No sé dónde radican las causas de la confusión pero convendría que al menos las instituciones educativas, los docentes y los libros de texto lo tengan claro y dejen de confundir a la gente. Os animo a que echéis un vistazo a los libros de texto que estáis utilizando en clase.

Por otra parte, "histogramas" como este, realizado por el programa Excel (Análisis de datos), no ayudan mucho a esclarecer el tema:

Éste es el resultado si pedimos a Excel que haga un gráfico de barras (columnas) de los mismos datos agrupados en intervalos:

¿Cuál es la diferencia?

Esta definición ya me gusta un poco más.

Bibliografía en los libros de texto

Publicado originalmente el 30 de junio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Cuando uno es estudiante no se da mucha cuenta, pero cuando comienza a investigar, o simplemente a leer investigaciones del tema que sea, descubre la gran importancia que cobran las referencias bibliográficas. Es muy importante cuando uno escribe un artículo o realiza un trabajo que indique qué referencias ha utilizado a la hora de hacerlo. Podría hablar mucho más de temas relacionados con la bibliografía (otros nombres son: referencias, literatura [los que hacen una traducción literal del inglés]...) pero no es mi objetivo en este escrito.

Esta ocasión me interesa prestar especial atención a los libros de texto de Matemáticas de la Educación Primaria y Secundaria. No sé si os habréis dado cuenta del oscurantismo y el secretismo que hay respecto al mundo de la bibliografía en los libros de texto, hasta el punto que en la inmensa mayoría ni tan siquiera aparece ésta. Como ya he dicho antes, la bibliografía no es una cuestión menor ya que incluso muchas veces echando un vistazo a la bibliografía se puede ubicar el estilo, escuela o filosofía que sigue el trabajo. No sé si alguno de vosotros conoce las causas de este oscurantismo en cuanto a la bibliografía de los libros de texto.

Que no haya no sé si quiere decir que nos quieren hacer creer que los autores han partido de cero y se lo han inventado todo, cosa que como comprenderéis es muy difícil de creer, o si las razones son más por cuestiones comerciales de las editoriales, razón que tampoco entendería y mucho menos después de ver las grandes similitudes entre los libros de texto de las diferentes editoriales.

¿Alguien puede arrojar un poco de luz a este mundo tan oscuro?