Bases ortogonales

Es sabido que en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ un conjunto de $n$ vectores linealmente independientes forman una base del espacio.

Decimos que una base es ortogonal cuando los vectores de la base son ortogonales dos a dos, es decir, que su producto escalar es 0:

$$ b_{i} · b_{j} = 0; \forall i,j \in \{1,...,n\} \mid i \neq j$$

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$ la base canónica $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ es una base ortogonal. Todos los productos escalares dan 0:

$(1,0,0)·(0,1,0)=0+0+0=0$

$(1,0,0)·(0,0,1)=0+0+0=0$

$(0,1,0)·(0,0,1)=0+0+0=0$

Los vectores forman ángulos rectos entre ellos.

Sin embargo, la base $\{(1,0,0),(1,1,1),(0,2,1)\}$ no es una base ortogonal. Por ejemplo, el siguiente producto escalar no da 0:

$(1,1,1)·(0,2,1)=0+2+1=3 \neq 0$

Existen vectores que no forman un ángulo recto.