Por definición, dada una matriz $A$,
$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $\exists B$ tal que $A · B = I$ y $B · A = I$
Donde $I$ es la matriz identidad.
De lo anterior se deduce que la matriz debe ser cuadrada.
Cuando trabajamos con matrices cuyos elementos son números reales ($M(\mathbb{R})$), sabemos que
$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $|A|\neq 0$
Sin embargo, si cambiamos el conjunto de matrices a aquellas cuyos elementos son números enteros ($M(\mathbb{Z})$) y queremos saber cuáles de ellas son invertibles (dentro de $M(\mathbb{Z})$) no basta con la condición sabida en $M(\mathbb{R})$.
Como el cálculo del determinante de una matriz solo implica sumas y multiplicaciones podemos afirmar que el determinante de una matriz cuyos elementos son enteros es un número entero:
$$A \in M_{nxn}(\mathbb{Z}) \Rightarrow|A| \in \mathbb{Z}$$
Supongamos que tenemos una matriz invertible en $M(\mathbb{Z})$
$A \in M(\mathbb{Z})$ invertible $\Rightarrow \exists B \in M(\mathbb{Z}) \mid A · B = I$
Si aplicamos determinantes en la igualdad anterior y utilizando propiedades de los determinantes podemos deducir que:
$$A · B = I \Rightarrow |A · B| = |I|\Rightarrow |A| · |B| = |I| \Rightarrow |A| · |B| = 1$$
De lo anterior se concluye que:
- $|A| \neq 0$ y $|B| \neq 0$
- $|A|· |B| = 1 \Rightarrow |B| = \frac{1}{|A|} \Rightarrow \frac{1}{|A|} \in \mathbb{Z}$
Por tanto, si $\frac{1}{|A|}$ debe ser un número entero solo hay dos opciones:
$|A|=1$ ó $|A|=-1$
Es decir, hemos demostrado que si una matriz es invertible en $M(\mathbb{Z})$, entonces su determinante es 1 o -1.
La otra dirección de la implicación es igual que en $M(\mathbb{R})$, es decir, definimos la inversa como la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante (ojo aquí con las diferencias entre autores con la definición de matriz adjunta).
Solo hay que añadir que la inversa construida de esa manera pertenece a $M(\mathbb{Z})$. La transpuesta de una matriz con elementos enteros es otra matriz con elementos enteros (solo los cambiamos de lugar, no operamos nada con los números). Y la adjunta de una matriz con elementos enteros también es otra matriz con elementos enteros (solo hacemos determinantes y en su caso cambios de signo). Finalmente, como el determinante es 1 o -1, al dividir seguimos dentro de los números enteros.
Por tanto, en $M(\mathbb{Z})$
$A$ es invertible $\Longleftrightarrow$ $|A|=1$ ó $|A|=-1$
Ejemplo: $\pmatrix{4 && 1 && 2 \\ 3 && 1 && 1 \\ 2 && 1 && 1}$ ¿Es invertible en $M(\mathbb{Z})$?
PD: A lo mejor esta entrada aporta algo de interés a esta otra que hice.
