Resto de una división entre 11 y criterio de divisibilidad

En la entrada titulada La prueba del 9 hablé sobre el funcionamiento y fundamentos de dicha prueba para encontrar errores en operaciones efectuadas. En otra entrada, titulada La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?), hablé sobre el papel que jugaba el 9 y las ventajas e inconvenientes que presentaba cambiar el 9 por otro número. En esa última entrada recogía una cita del libro Aritmética Recreativa de Yakov Perelman que decía:

"La verificación complementaria del siete, es bastante agotadora. (...) en lugar de dividir por 7 resulta más conveniente dividir por 11."

Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Yakov_Perelman.jpg

En aquel momento no quise profundizar más en ello para no extender en exceso aquella entrada, pero me llamó la atención que la prueba del 11 que proponía Perelman no es exactamente el criterio de divisibilidad del 11 que suele enseñarse en los libros de texto. A continuación cito las palabras de Perelman:

"Además, se puede simplificar en gran medida el procedimiento, aplicando la siguiente prueba conveniente de divisibilidad entre 11: se descompone el número, de derecha a izquierda, en grupos de dos cifras (el último grupo de la izquierda puede tener una sola cifra); se suman los gripos obtenidos y la suma obtenida será “congruente” con el número examinado conforme al divisor 11: la suma de las partes da en la división entre 11, el mismo residuo que el número examinado.
Aclaremos lo indicado con un ejemplo. Se desea hallar el residuo de la división 24716 entre 11.
Descompongamos el número en partes y sumémoslas:

2 + 47 + 16 = 65

Puesto que al dividir 65 entre 11 da como residuo 10, el número 24716, da el mismo residuo al dividirlo entre 11. En mi libro “Matemáticas Recreativas”, se explican las bases de este método."

Si acudimos al apartado 45 del capítulo 5 de su libro Matemática Recreativa, encontramos esa otra forma del criterio de divisibilidad del 11, la que aparece en los libros de texto (los que recogen dicho criterio). Cito:

"Para resolver este problema hay que saber en qué casos es un número divisible por 11. Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras colocadas en los lugares pares y la suma de los valores de las colocadas en los lugares impares, es divisible por 11 o igual a cero.
Por ejemplo, hagamos la prueba con el número 23 658 904. La suma total de las cifras colocadas en los lugares pares es:

3 + 5 + 9 + 4 = 21

La suma de las cifras colocadas en los lugares impares es:

2 + 6 + 8 + 0 = 16

La diferencia entre estas sumas (hay que restar del número mayor el menor) es:

21 - 16 = 5

Esta diferencia (5) no se divide por 11, lo que quiere decir que el número no es divisible por 11. Probemos el número 7 344 535:

3 + 4 + 3 = 10

7 + 4 + 5 + 5 = 21

21 - 10 = 11

Como el 11 se divide por 11, el número que hemos probado es múltiplo de 11."

¿Por qué cambia Perelman de un libro a otro la forma del criterio de divisibilidad entre 11?

Porque en cada libro está interesado en conocer cosas distintas. En el fragmento de Matemática Recreativa, Perelman describe un método para conocer si un número es múltiplo de 11. Sin embargo, en el fragmento de Aritmética Recreativa, Perelman busca un método para conocer el resto de dividir un número entre 11. ¿No es lo mismo? No, son cosas que están relacionadas, pero distintas al fin y al cabo.

El método que describe Perelman en Matemática Recreativa, el que aparece en los libros de texto que recogen el criterio de divisibilidad del 11, sirve para el propósito de saber si un número es o no múltiplo de 11, pero siguiendo ese procedimiento no siempre obtenemos correctamente el resto de la división.

Veamos un ejemplo muy sencillo:
Aplicamos el criterio de divisibilidad del 11 al número 32.
La suma de las cifras que ocupan un lugar impar es 2.
La suma de las cifras que ocupan un lugar par es 3.
La diferencia (mayor-menor) es 3-2=1.
Luego 32 no es múltiplo de 11. Hasta aquí bien. Pero obsérvese que el resto de dividir 32 entre 11 no es 1, sino 10.

De modo similar a lo que hice en la entrada ¿2008 es divisible entre 8? vamos a utilizar la aritmética modular para razonar un criterio de divisibilidad del 11.

Nuestro sistema decimal posicional nos permite escribir cualquier número utilizando la siguiente expresión:

X = a_n · 10ⁿ + a_(n-1) · 10^(n-1) + … + a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

En aritmética modular, módulo 11, el 10 es congruente con -1 (11-1=10). Por tanto, la clave del proceso está en que las potencias de 10 son congruentes (módulo 11) con 1 o -1, dependiendo si el exponente es par o impar respectivamente. Es decir (las siguientes igualdades son congruencias módulo 11):
10⁰ = 1
10¹ = (-1)¹ = -1
10² = (-1)² = 1
10³ = (-1)³ = -1
10⁴ = (-1)⁴ = 1
...

Por lo que el número X queda de la siguiente manera (módulo 11):

X = a_n · (-1)ⁿ + a_(n-1) · (-1)^(n-1) + … - a₃ + a₂ - a₁ + a₀

Es decir, un número será congruente (módulo 11) con la suma de las cifras que ocupan una posición impar (empezando a contar como primera la cifra de las unidades) a la que restamos la suma de las cifras que ocupan una posición par.

En el ejemplo sencillo del número 32, la suma de las cifras que ocupan posición impar es 2 y la suma de las cifras que ocupan posición par es 3. Seǵun el criterio descrito anteriormente, 32 es congruente (módulo 11) con 2-3=-1. Es decir, que el resto de dividir 32 entre 11 es 10 (11-1). Aquí tenemos la explicación de por qué el criterio que utiliza primero Perelman (y que aparece también en libros de texto) no sirve, tal y como se explica, para conocer el resto de una división entre 11.

Para calcular el resto no es correcto calcular la diferencia (mayor-menor) sino que debe hacerse la resta en el orden que surge en la justificación del proceso:
"suma de cifras en posición impar" - "suma de cifras en posición par"
Cuando la diferencia es 0 (o múltiplo de 11) el orden es indiferente y se concluye que el número es múltiplo de 11, pero para otros casos el papel de minuendo y sustraendo puede ser fundamental.

Otro ejemplo:
Calcular el resto de la división 9347852356 : 11.
Suma de las cifras que ocupan posición impar: 3+7+5+3+6 = 24.
Suma de las cifras que ocupan posición par: 9+4+8+2+5 = 28.
El resto vendrá dado por 24-28 = -4 = 7 (módulo 11).

Entonces, ¿por qué no se dice que se reste siempre en el orden que toca? Con eso el problema estaría solucionado y no sería necesario describir otros métodos alternativos para calcular el resto. Lo cierto es que desconozco las razones. Una posible hipótesis es que se quiera evitar el trabajo con números negativos, especialmente si el objetivo no es conocer el resto de la división sino saber únicamente si el número es o no múltiplo de 11.

Un matemago, una resta y un billete de euros (solución)

En esta entrada voy a explicar y justificar el funcionamiento de los matetrucos que conté en Un matemago, una resta y un billete de euros.

Primer matetruco: la resta.

Explicación: ¿Cómo adivina el matemago la cifra que no le hemos dicho?

Porque el resultado de la resta de dos números construidos de la forma indicada siempre es un múltiplo de 9. El matemago va sumando las cifras que le vamos diciendo del resultado.

Cogiendo el mismo ejemplo de la entrada anteriormente enlazada:

Del número 287001 le digo al matemago 1, 0, 8, 0 y 2. El matemago suma todas esas cifras 1+0=1; 1+8=9; 9+0=9; 9+2=11.

Una vez obtenido el resultado de esa suma de cifras, el matemago sólo tiene que encontrar qué número hay que sumarle para obtener el siguiente múltiplo de 9.

El resultado de sumar las cifras que han dicho es 11. El siguiente múltiplo de 9 es 18, por lo que la cifra que falta es 18-11=7.

Justificación matemática: ¿Por qué el resultado siempre es un múltiplo de 9?

Sabemos que si se cumple la igualdad A-B=C, también debe cumplirse la igualdad módulo 9. O dicho de otra manera más sencilla, la resta debe pasar la prueba del 9. Los restos de las divisiones de A y de B entre 9 coinciden porque contienen las mismas cifras (permutadas), por lo que la división del resultado entre 9 debe ser exacta (resto 0). O lo que es lo mismo, el resultado de la resta debe ser múltiplo de 9.

Una pregunta:

¿Por qué el matemago pide que la cifra escogida no sea un 0? Pensadlo un poquito y veréis que esa condición (u otra equivalente) es necesaria. La explicación es sencilla.

Aplicar una propiedad para hacer el cálculo más sencillo:

Cuando el matemago va sumando las cifras que le decimos en realidad no está interesado en el resultado de la suma en sí, sino en el resto de dividir entre 9, por lo que puede utilizar la propiedad de ir aplicando equivalencias módulo 9. Explicado de una manera sencilla, cada vez que se suma una cifra y el resultado es mayor o igual que 9 podemos restar 9 y así trabajar con números más pequeños.

En el ejemplo anterior, aunque es sencillo y no haría falta, se aplicaría la propiedad de la siguiente manera:

1+0=1; 1+8=9; 9-9=0; 0+0=0; 0+2=2. El siguiente múltiplo de 9 es 9 por lo que la cifra que falta es 9-2=7.

Fernando Blasco es una buena referencia sobre Matemagia

Actualización: el truco anterior y una variante del mismo se encuentran descritos en el apartado 10 del capítulo 1 del libro Matemática Recreativa de Yakov Perelman.

Segundo matetruco: el billete.

Explicación: ¿Cómo adivina el matemago la cifra que no le hemos dicho?

De nuevo el 9 juega un papel fundamental en el proceso, pero esta vez existe un elemento que complica la ejecución del matetruco. El matemago, igual que antes, suma todas las cifras que le decimos (también puede aplicar la propiedad de ir restando 9 cuando lo desee).

Cogiendo el billete utilizado como ejemplo en la entrada enlazada al principio:

Le decimos al matemago X, 7, 4, 2, 9, 9, 0, 4, 8, 2 y 8.

Y va sumando las cifras: 7+4=11; 11-9=2; 2+2=4; (los 9 no hace falta sumarlos porque equivalen a resto 0); (el 0 me deja igual la suma); 4+4=8; 8+8=16; 16-9=7; 7+2=9; 9-9=0; 0+8=8.

El resultado de sumar las cifras (módulo 9) es 8.

Sin embargo, esta vez no buscará necesariamente que el número resultante sea múltiplo de 9 (resto 0) sino que buscará que al sumar las cifras quede (módulo 9) un resto determinado. El matemago conoce una propiedad de los números de serie de los billetes de euro: la última cifra de la serie es un dígito de control que se añade para que el resto de la división del número de serie entre 9 dé un resultado concreto.

¿Cómo sabe el matemago qué resto debe quedar?

Hasta ahora no hemos utilizado la letra del principio de la serie del billete. Esa letra informa del país de fabricación del billete, pero también del resto que debe quedar al dividir el número entre 9.

Se recoge en la siguiente tabla la relación entre letras y restos:

Letra	País	Resto
Z	Bélgica	9
Y	Grecia	1
X	Alemania	2
(W)	(Dinamarca)	(3)
V	España	4
U	Francia	5
T	Irlanda	6
S	Italia	7
(R)	(Luxemburgo)	(8)
(Q)	Sin uso
P	Países Bajos	1
(O)	Sin uso
N	Austria	3
M	Portugal	4
L	Finlandia	5
(K)	(Suecia)	(6)
(J)	(Reino Unido)	(7)
(I)	Sin uso
H	Eslovenia	9
G	Chipre	1
F	Malta	2
E	Eslovaquia	3
D	Estonia	4

Por tanto, una vez obtenido el resultado de la suma de cifras que han dicho, módulo 9, el matemago sólo tiene que encontrar qué número hay que sumarle para obtener el siguiente número que tenga el resto que indica la letra.

Siguiendo con el mismo ejemplo, el matemago obtuvo 8 como resultado del procedimiento de sumar las cifras que le decían. La letra que le dijeron es X, a la que le corresponde un resto 2. Por tanto debe encontrar un número que sumado a 8 le dé el siguiente número con resto 2 al dividir entre 9.

El siguiente número que cumple esa condición es 9+2=11. Por lo que la cifra que no dijeron es 11-8=3.

Entonces, ¿debe el matemago aprenderse la tabla de memoria?

Pues en realidad no es necesario, salvo que quiera recordar también como dato curioso el país de procedencia del billete. Si observáis la tabla veréis que los restos van variando de uno en uno (en orden inverso). Es decir, Si tengo la referencia de que la Z es 9 (yo prefiero pensar en el 9 como 0), la siguiente letra (Y) tiene resto 1, la siguiente (X) tiene resto 2, ... y así sucesivamente (cuando llegamos a 9 reiniciamos a 0).

Otra opción para agilizar la identificación puede ser recordar las letras con resto nulo: Z, Q y H.

¡Cuidado con la Ñ, que lógicamente no está en la lista!

En este caso, dado que el número de serie se construye para que tenga esa propiedad, ya no es necesario justificar matemáticamente nada más.

Para muchos es posible que, en matemagia, la magia desaparezca cuando se explica cómo se hace el truco. Otros sentimos cómo la magia perdura hasta alcanzar su punto más álgido cuando investigando encontramos la justificación de por qué funcionan los trucos.

La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?)

Esta entrada es una continuación de la entrada anterior, titulada La prueba del 9.

Si bien la prueba del 9 se conoce popularmente para comprobar las divisiones, esta regla también se puede utilizar para cualquiera de las otras operaciones básicas. Por ejemplo, la prueba del 9 para comprobar la multiplicación A · B = C consiste en ver si coincide el resto de la división C/9 con el resto de la división (A · B) / 9, que en aritmética modular puede calcularse como la multiplicación de los restos de A/9 y B/9.

Ejemplo: 235256 · 89754 = 21115167024
Primer factor 2+3+5+2+5+6 = 23; 2+3 = 5. El resto es 5.
Segundo factor 8+9+7+5+4 = 33; 3+3 = 6. El resto es 6.
Resultado 2+1+1+1+5+1+6+7+0+2+4 = 30; 3+0=3. El resto es 3.
El resto de 5·6 = 30 dividido entre 9 es 3+0=3 que coincide con el resto del resultado entre 9.
Por tanto, la multiplicación supera la prueba del 9.

Libro de texto. Aritmética de 2º grado. Luis Vives, 1949.

Una referencia muy interesante sobre estas cuestiones es el primer apartado del tercer capítulo de la obra Aritmética Recreativa del gran divulgador Yakov Perelman.

Volviendo a la cuestión con la que cerraba la entrada anterior, una vez que uno entiende los fundamentos de la prueba del 9 puede observar que las relaciones utilizadas en aritmética modular siguen funcionando para cualquier número, es decir, no necesariamente tiene que ser un 9.

Tras hacerme esa interesante pregunta, descubrí que el mismo Perelman hacía una referencia a esto en el texto citado anteriormente:

"Nuestros antecesores (...) no se limitaban a una sola comprobación por medio del nueve, sino que efectuaban inclusive una comprobación complementaria por medio del siete."

Yakov Perelman

Entonces, si puedo hacer la prueba calculando los restos de la división por el número que yo elija, ¿por qué el 9?

Primera razón: la idea principal es comprobar un cálculo realizado por lo que la comprobación debería ser relativamente más sencilla que el propio cálculo a comprobar.

Perelman, en el texto citado, realiza la siguiente afirmación:

"La verificación complementaria del siete, es bastante agotadora. (...) en lugar de dividir por 7 resulta más conveniente dividir por 11."

Hemos visto que calcular el resto de una división entre 9 es muy sencillo con el procedimiento de sumar las cifras del dividendo. Perelman propone cambiar el 7 por el 11 porque existe un procedimiento relativamente sencillo para calcular el resto de una división entre 11. Pero también son bastante conocidos métodos muy sencillos para calcular el resto de divisiones entre 2, 5 o 10, para los que basta mirar la última cifra, o el resto de divisiones entre 3, que es análogo al método para calcular el resto del 9.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la prueba del 5 (las divisiones del principio de la entrada anterior):

Realizo la división 100 entre 23 y obtengo como cociente 4 y resto 8.

El resto de 100/5 es 0.

El resto de (23 · 4 + 8)/5 es igual al resto de (3 · 4 + 3)/5 = 15/5 que es 0.

Ambos restos coinciden por lo que la división supera la prueba del 5. 

Realizo la división 270 entre 120 y obtengo como cociente 2 y resto 3.

El resto de 270/5 es 0.

El resto de (120 · 2 + 3)/5 es igual al resto de (0 · 2 + 3)/5 = 3/5 que es 3.

Los restos no coinciden por lo que no supera la prueba del 5. Por tanto, la división no está bien hecha.

Nota: Recordad que este era un ejemplo de "falso positivo" de la prueba del 9.

Entonces esta razón parece no ser suficiente para justificar las ventajas de escoger el 9 para hacer la prueba de la división, dado que otros números hacen más sencilla la comprobación.

Segunda razón: si aumentamos la cantidad de cifras que se ven involucradas en la comprobación, tendremos más control sobre la detección de errores. Dicho de otra manera, los procedimientos para calcular el resto de 2, 5 y 10, que son los más sencillos, se basan únicamente en la última cifra por lo que un error en cualquiera de las otras cifras pasa desapercibido siempre que coincida la última de cada elemento de la división (falsos positivos). En este sentido, los procedimientos para calcular el resto de divisiones entre 3, 9 y 11, que utilizan todas las cifras, presentan ventajas sobre los otros.

Tercera razón: Cuanto mayor sea el número escogido para dividir en la comprobación, mayores son los números que deben operarse en dicha prueba. Esto es un inconveniente. Sin embargo, aumentar el número escogido significa también aumentar la "precisión" en la detección de errores, es decir, disminuye la aparición de falsos positivos. Esto se puede entender fácilmente si pensamos que en los restos de dividir entre 3 los primeros 99 números tenemos 33 números con resto 0, otros 33 que coinciden con el resto 1 y otros 33 que coinciden con el resto 2. Cuanto mayor sea el número de coincidencias más probabilidad existe de que se produzcan falsos positivos. En la misma cadena de números si dividimos entre 9 tendríamos 11 coincidencias para cada resto (en lugar de las 33 en los restos de dividir entre 3) y si dividimos entre 11 tendríamos 9 coincidencias para cada resto.

Teniendo en cuenta todo lo anterior parece razonable concluir que la prueba más efectiva, en términos de sencillez sin aumentar excesivamente los falsos positivos, es la prueba del 11, seguida de la del 9.

Otra opción es, como se hacía cuando se usaban este tipo de pruebas para asegurar en cierta medida la validez de largos y tediosos o importantes cálculos, pasar más de una prueba. Por ejemplo podemos pasar la prueba del 99 (que sería pasar primero la del 9 y luego la del 11) o pasar primero una prueba de las más sencillas (2, 5 o 10) y después la del 9 o la del 11. ¿Qué os parece pasar la prueba del 45?

Pero la conclusión más importante que quiero transmitir de todo esto es lo útil e interesante que resulta profundizar sobre un concepto o procedimiento matemático. Aunque la prueba del 9 como comprobación de un cálculo resulte desfasada teniendo calculadoras y dejando claro que no soy en absoluto partidario de recuperarla en los currículos, ha sido una buena excusa para aprender muchas cosas en el camino recorrido. Aprendizaje a través de la investigación.

Actualización: después de escribir esta entrada he descubierto un artículo publicado en la revista SUMA (nº 30, p. 53-58) que puede servir como referencia complementaria a algunos de los aspectos aquí tratados: Una nueva mirada a "la prueba del 9".

La prueba del 9

¿Conocéis la prueba del 9 para las divisiones?

Hoy en día no se encuentra en los libros de texto así que para los que no la hayáis visto nunca o aquellos que necesitéis refrescar la memoria ahí va una pequeña explicación.

Todo parte del concepto de división entera y la relación entre sus diferentes elementos (dividendo, divisor, cociente y resto):

D = d · c + r

(con el resto siempre menor que el divisor)

Sabemos que si el algoritmo de cálculo de división está bien hecho, la relación anterior debe cumplirse. Así es como muchos de los libros de texto sugieren que se compruebe si una división está bien hecha.

Ejemplos sencillos:

Realizo la división 100 entre 23 y obtengo como cociente 4 y resto 8.

Compruebo si me he equivocado, resto (8) menor que divisor (23) y 23·4+8=92+8=100. Correcto.

Realizo la división 270 entre 120 y obtengo como cociente 2 y resto 3.

Compruebo  si me he equivocado, resto (3) menor que divisor (120) y 120·2+3=240+3=243 !!! En algún sitio me he tenido que equivocar.

La equivocación del último ejemplo no es azarosa sino que responde a un error que se produce con cierta frecuencia, así que os dejo como entretenimiento interesante que descubráis la causa por la que me he equivocado (no es difícil).

Pero en otro tiempo, especialmente cuando no se disponía de calculadoras para hacer comprobaciones de los cálculos y los algoritmos de la división eran más tediosos y complejos (véase como ejemplo el método de la galera), era habitual recurrir a algunos métodos de comprobación del resultado de las operaciones.

 
Hace relativamente pocos años aún podíamos encontrar en los libros de texto una sugerencia para comprobar si nos habíamos equivocado en una división: la denominada prueba del 9.

Para entender los fundamentos de dicha regla podemos acudir a la aritmética modular. Simplificando mucho la cuestión, la clave para entender la prueba del 9 está en que si tenemos una igualdad A = B, entonces los restos de dividir ambos términos de la igualdad (A y B) por otro número (en nuestro caso 9) coincidirán.

Llegados a este punto hay dos cuestiones a destacar:

1. El resto de una división entre 9 coincide con el resto de cambiar el dividendo por el número resultante de sumar todas sus cifras. Esto nos permite calcular fácilmente los restos sin necesidad de realizar la división.

Ejemplos:

Para conocer el resto de 100/9 sumo todas las cifras de 100, 1+0+0=1. Por tanto, el resto de 100/9 es 1.

Para conocer el resto de 888/9 sumo todas las cifras de 888, 8+8+8=24. El resto de 888/9 coincide con el resto de 24/9. Repito la operación de sumar todas las cifras del dividendo (24), 2+4=6. El resto de 888/9 es 6.

2. Un resultado muy útil de la aritmética modular es que el resto de la división (A+B)/C coincide con la suma de los restos de A/C y B/C; y lo mismo sucede para la resta y la multiplicación. Esto me permite simplificar las operaciones e ir trabajando con números más pequeños.

Ejemplo: Para calcular el resto de (23 · 4 + 8) entre 9 tanto puedo operar primero y luego calcular el resto del resultado, como primero calcular los restos de cada número y luego operar con ellos:
El resto de 23/9 es 2+3=5; 4 y 8 son menores que 9 por lo que ellos mismos son los restos de dividirlos entre 9. Por tanto, el resto de 23·4+8 entre 9 coincide con el resto de 5·4+8 entre 9.
5·4+8 = 20+8 = 28 cuyo resto al dividir entre 9 lo calculo de la manera descrita: 2+8=10, 1+0=1.

Visto lo anterior ya podemos aplicar la prueba del 9 porque no es más que comprobar que la relación D = d · c + r se cumple módulo 9, es decir, que los restos de la divisiones D/9 y (d · c + r)/9 coinciden.

Ejemplos:

Tras realizar la división 100 entre 23 obtuvimos cociente 4 y resto 8. Si la división está bien hecha se cumple la igualdad 100 = 23 · 4 + 8 por lo que también debe cumplirse la igualdad módulo 9, es decir que coinciden los restos de dividir entre 9 ambos términos de la igualdad.
En ejemplos anteriores hemos visto que el resto de la división 100 entre 9 es 1 y que el resto de la división (23 · 4 + 8) entre 9 también es 1. Luego, la división realizada supera la prueba del 9.

Al realizar la división 325 / 7 obtengo cociente 47 y resto 2.
Calculo el resto de 325/9.  3+2+5=10; 1+0=1. El resto es 1.
Calculo el resto de 47/9. 4+7=11; 1+1=2. El resto es 2.
El divisor (7) y el resto (2) se quedan igual por ser menores que 9.
El resto de (d · c + r)/9 lo calculo de la siguiente manera:
7·2+2 = 14+2 = 16; 1+6 = 7.
El resto de D/9 da 1 y el resto de (d · c + r)/9 da 7, por lo que no supera la prueba del 9. Luego, la división está mal hecha.

Aquí podéis encontrar un applet explicativo en el que tras realizar una división le introducís los términos para comprobar si superan o no la prueba del 9.

Obsérvese ahora este otro ejemplo, de una de las divisiones realizadas al principio de esta entrada:

Al dividir 270 entre 120 obtuvimos cociente 2 y resto 3.
Calculamos el resto de dividir 270 entre 9; 2+7+0=9 por lo que el resto es 0 (9/9 da cociente 1 y resto 0).
El resto de dividir 120/9 es 1+2+0=3. El cociente (2) y el resto (3) se quedan igual. Utilizando estos datos calculamos ahora el resto de (d · c + r)/9
3·2+3 = 6+3 = 9 por lo que el resto es 0.
El resto de las divisiones D/9 y (d · c + r)/9 coinciden, luego la división realizada supera la prueba del 9.


Si sabemos desde el principio que la división está mal hecha, ¿cómo puede ser que supere la prueba del 9?
Pues porque la certeza en este caso sólo va en un sentido. Si la división está bien hecha, superará la prueba del 9. Pero que una división supere la prueba del 9 no significa necesariamente que la división esté bien hecha.

Si reflexionamos sobre el procedimiento seguido y las propiedades que utiliza la prueba del 9 es fácil observar que si cambiamos alguno de los elementos de la división por otro que difiera de este en 9 unidades (o un número múltiplo de 9) el resto al dividir entre 9 no variará, por lo que seguirá pasando la prueba del 9. También si intercambiamos las cifras de un número o añadimos tantos ceros o nueves como queramos, obtenemos el mismo resultado en el resto de dividir entre 9.

Por tanto, siendo precisos, si una división supera la prueba del 9 no podemos afirmar que la división está bien hecha (como puede apreciarse en una captura del applet anterior), sino que podemos decir que la prueba del 9 no ha detectado ningún fallo.

El applet dice que la división está bien hecha. Click para agrandar.

Una vez entendidos el procedimiento de la prueba del 9 y sus fundamentos, planteo la siguiente pregunta: ¿por qué el 9 y no otro número?

Como me parece una pregunta lo suficientemente interesante, le dedicaré una entrada propia en el blog (ver entrada "La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?").