La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?)

Esta entrada es una continuación de la entrada anterior, titulada La prueba del 9.

Si bien la prueba del 9 se conoce popularmente para comprobar las divisiones, esta regla también se puede utilizar para cualquiera de las otras operaciones básicas. Por ejemplo, la prueba del 9 para comprobar la multiplicación A · B = C consiste en ver si coincide el resto de la división C/9 con el resto de la división (A · B) / 9, que en aritmética modular puede calcularse como la multiplicación de los restos de A/9 y B/9.

Ejemplo: 235256 · 89754 = 21115167024
Primer factor 2+3+5+2+5+6 = 23; 2+3 = 5. El resto es 5.
Segundo factor 8+9+7+5+4 = 33; 3+3 = 6. El resto es 6.
Resultado 2+1+1+1+5+1+6+7+0+2+4 = 30; 3+0=3. El resto es 3.
El resto de 5·6 = 30 dividido entre 9 es 3+0=3 que coincide con el resto del resultado entre 9.
Por tanto, la multiplicación supera la prueba del 9.

Libro de texto. Aritmética de 2º grado. Luis Vives, 1949.

Una referencia muy interesante sobre estas cuestiones es el primer apartado del tercer capítulo de la obra Aritmética Recreativa del gran divulgador Yakov Perelman.

Volviendo a la cuestión con la que cerraba la entrada anterior, una vez que uno entiende los fundamentos de la prueba del 9 puede observar que las relaciones utilizadas en aritmética modular siguen funcionando para cualquier número, es decir, no necesariamente tiene que ser un 9.

Tras hacerme esa interesante pregunta, descubrí que el mismo Perelman hacía una referencia a esto en el texto citado anteriormente:

"Nuestros antecesores (...) no se limitaban a una sola comprobación por medio del nueve, sino que efectuaban inclusive una comprobación complementaria por medio del siete."

Yakov Perelman

Entonces, si puedo hacer la prueba calculando los restos de la división por el número que yo elija, ¿por qué el 9?

Primera razón: la idea principal es comprobar un cálculo realizado por lo que la comprobación debería ser relativamente más sencilla que el propio cálculo a comprobar.

Perelman, en el texto citado, realiza la siguiente afirmación:

"La verificación complementaria del siete, es bastante agotadora. (...) en lugar de dividir por 7 resulta más conveniente dividir por 11."

Hemos visto que calcular el resto de una división entre 9 es muy sencillo con el procedimiento de sumar las cifras del dividendo. Perelman propone cambiar el 7 por el 11 porque existe un procedimiento relativamente sencillo para calcular el resto de una división entre 11. Pero también son bastante conocidos métodos muy sencillos para calcular el resto de divisiones entre 2, 5 o 10, para los que basta mirar la última cifra, o el resto de divisiones entre 3, que es análogo al método para calcular el resto del 9.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la prueba del 5 (las divisiones del principio de la entrada anterior):

Realizo la división 100 entre 23 y obtengo como cociente 4 y resto 8.

El resto de 100/5 es 0.

El resto de (23 · 4 + 8)/5 es igual al resto de (3 · 4 + 3)/5 = 15/5 que es 0.

Ambos restos coinciden por lo que la división supera la prueba del 5. 

Realizo la división 270 entre 120 y obtengo como cociente 2 y resto 3.

El resto de 270/5 es 0.

El resto de (120 · 2 + 3)/5 es igual al resto de (0 · 2 + 3)/5 = 3/5 que es 3.

Los restos no coinciden por lo que no supera la prueba del 5. Por tanto, la división no está bien hecha.

Nota: Recordad que este era un ejemplo de "falso positivo" de la prueba del 9.

Entonces esta razón parece no ser suficiente para justificar las ventajas de escoger el 9 para hacer la prueba de la división, dado que otros números hacen más sencilla la comprobación.

Segunda razón: si aumentamos la cantidad de cifras que se ven involucradas en la comprobación, tendremos más control sobre la detección de errores. Dicho de otra manera, los procedimientos para calcular el resto de 2, 5 y 10, que son los más sencillos, se basan únicamente en la última cifra por lo que un error en cualquiera de las otras cifras pasa desapercibido siempre que coincida la última de cada elemento de la división (falsos positivos). En este sentido, los procedimientos para calcular el resto de divisiones entre 3, 9 y 11, que utilizan todas las cifras, presentan ventajas sobre los otros.

Tercera razón: Cuanto mayor sea el número escogido para dividir en la comprobación, mayores son los números que deben operarse en dicha prueba. Esto es un inconveniente. Sin embargo, aumentar el número escogido significa también aumentar la "precisión" en la detección de errores, es decir, disminuye la aparición de falsos positivos. Esto se puede entender fácilmente si pensamos que en los restos de dividir entre 3 los primeros 99 números tenemos 33 números con resto 0, otros 33 que coinciden con el resto 1 y otros 33 que coinciden con el resto 2. Cuanto mayor sea el número de coincidencias más probabilidad existe de que se produzcan falsos positivos. En la misma cadena de números si dividimos entre 9 tendríamos 11 coincidencias para cada resto (en lugar de las 33 en los restos de dividir entre 3) y si dividimos entre 11 tendríamos 9 coincidencias para cada resto.

Teniendo en cuenta todo lo anterior parece razonable concluir que la prueba más efectiva, en términos de sencillez sin aumentar excesivamente los falsos positivos, es la prueba del 11, seguida de la del 9.

Otra opción es, como se hacía cuando se usaban este tipo de pruebas para asegurar en cierta medida la validez de largos y tediosos o importantes cálculos, pasar más de una prueba. Por ejemplo podemos pasar la prueba del 99 (que sería pasar primero la del 9 y luego la del 11) o pasar primero una prueba de las más sencillas (2, 5 o 10) y después la del 9 o la del 11. ¿Qué os parece pasar la prueba del 45?

Pero la conclusión más importante que quiero transmitir de todo esto es lo útil e interesante que resulta profundizar sobre un concepto o procedimiento matemático. Aunque la prueba del 9 como comprobación de un cálculo resulte desfasada teniendo calculadoras y dejando claro que no soy en absoluto partidario de recuperarla en los currículos, ha sido una buena excusa para aprender muchas cosas en el camino recorrido. Aprendizaje a través de la investigación.

Actualización: después de escribir esta entrada he descubierto un artículo publicado en la revista SUMA (nº 30, p. 53-58) que puede servir como referencia complementaria a algunos de los aspectos aquí tratados: Una nueva mirada a "la prueba del 9".

La prueba del 9

¿Conocéis la prueba del 9 para las divisiones?

Hoy en día no se encuentra en los libros de texto así que para los que no la hayáis visto nunca o aquellos que necesitéis refrescar la memoria ahí va una pequeña explicación.

Todo parte del concepto de división entera y la relación entre sus diferentes elementos (dividendo, divisor, cociente y resto):

D = d · c + r

(con el resto siempre menor que el divisor)

Sabemos que si el algoritmo de cálculo de división está bien hecho, la relación anterior debe cumplirse. Así es como muchos de los libros de texto sugieren que se compruebe si una división está bien hecha.

Ejemplos sencillos:

Realizo la división 100 entre 23 y obtengo como cociente 4 y resto 8.

Compruebo si me he equivocado, resto (8) menor que divisor (23) y 23·4+8=92+8=100. Correcto.

Realizo la división 270 entre 120 y obtengo como cociente 2 y resto 3.

Compruebo  si me he equivocado, resto (3) menor que divisor (120) y 120·2+3=240+3=243 !!! En algún sitio me he tenido que equivocar.

La equivocación del último ejemplo no es azarosa sino que responde a un error que se produce con cierta frecuencia, así que os dejo como entretenimiento interesante que descubráis la causa por la que me he equivocado (no es difícil).

Pero en otro tiempo, especialmente cuando no se disponía de calculadoras para hacer comprobaciones de los cálculos y los algoritmos de la división eran más tediosos y complejos (véase como ejemplo el método de la galera), era habitual recurrir a algunos métodos de comprobación del resultado de las operaciones.

 
Hace relativamente pocos años aún podíamos encontrar en los libros de texto una sugerencia para comprobar si nos habíamos equivocado en una división: la denominada prueba del 9.

Para entender los fundamentos de dicha regla podemos acudir a la aritmética modular. Simplificando mucho la cuestión, la clave para entender la prueba del 9 está en que si tenemos una igualdad A = B, entonces los restos de dividir ambos términos de la igualdad (A y B) por otro número (en nuestro caso 9) coincidirán.

Llegados a este punto hay dos cuestiones a destacar:

1. El resto de una división entre 9 coincide con el resto de cambiar el dividendo por el número resultante de sumar todas sus cifras. Esto nos permite calcular fácilmente los restos sin necesidad de realizar la división.

Ejemplos:

Para conocer el resto de 100/9 sumo todas las cifras de 100, 1+0+0=1. Por tanto, el resto de 100/9 es 1.

Para conocer el resto de 888/9 sumo todas las cifras de 888, 8+8+8=24. El resto de 888/9 coincide con el resto de 24/9. Repito la operación de sumar todas las cifras del dividendo (24), 2+4=6. El resto de 888/9 es 6.

2. Un resultado muy útil de la aritmética modular es que el resto de la división (A+B)/C coincide con la suma de los restos de A/C y B/C; y lo mismo sucede para la resta y la multiplicación. Esto me permite simplificar las operaciones e ir trabajando con números más pequeños.

Ejemplo: Para calcular el resto de (23 · 4 + 8) entre 9 tanto puedo operar primero y luego calcular el resto del resultado, como primero calcular los restos de cada número y luego operar con ellos:
El resto de 23/9 es 2+3=5; 4 y 8 son menores que 9 por lo que ellos mismos son los restos de dividirlos entre 9. Por tanto, el resto de 23·4+8 entre 9 coincide con el resto de 5·4+8 entre 9.
5·4+8 = 20+8 = 28 cuyo resto al dividir entre 9 lo calculo de la manera descrita: 2+8=10, 1+0=1.

Visto lo anterior ya podemos aplicar la prueba del 9 porque no es más que comprobar que la relación D = d · c + r se cumple módulo 9, es decir, que los restos de la divisiones D/9 y (d · c + r)/9 coinciden.

Ejemplos:

Tras realizar la división 100 entre 23 obtuvimos cociente 4 y resto 8. Si la división está bien hecha se cumple la igualdad 100 = 23 · 4 + 8 por lo que también debe cumplirse la igualdad módulo 9, es decir que coinciden los restos de dividir entre 9 ambos términos de la igualdad.
En ejemplos anteriores hemos visto que el resto de la división 100 entre 9 es 1 y que el resto de la división (23 · 4 + 8) entre 9 también es 1. Luego, la división realizada supera la prueba del 9.

Al realizar la división 325 / 7 obtengo cociente 47 y resto 2.
Calculo el resto de 325/9.  3+2+5=10; 1+0=1. El resto es 1.
Calculo el resto de 47/9. 4+7=11; 1+1=2. El resto es 2.
El divisor (7) y el resto (2) se quedan igual por ser menores que 9.
El resto de (d · c + r)/9 lo calculo de la siguiente manera:
7·2+2 = 14+2 = 16; 1+6 = 7.
El resto de D/9 da 1 y el resto de (d · c + r)/9 da 7, por lo que no supera la prueba del 9. Luego, la división está mal hecha.

Aquí podéis encontrar un applet explicativo en el que tras realizar una división le introducís los términos para comprobar si superan o no la prueba del 9.

Obsérvese ahora este otro ejemplo, de una de las divisiones realizadas al principio de esta entrada:

Al dividir 270 entre 120 obtuvimos cociente 2 y resto 3.
Calculamos el resto de dividir 270 entre 9; 2+7+0=9 por lo que el resto es 0 (9/9 da cociente 1 y resto 0).
El resto de dividir 120/9 es 1+2+0=3. El cociente (2) y el resto (3) se quedan igual. Utilizando estos datos calculamos ahora el resto de (d · c + r)/9
3·2+3 = 6+3 = 9 por lo que el resto es 0.
El resto de las divisiones D/9 y (d · c + r)/9 coinciden, luego la división realizada supera la prueba del 9.


Si sabemos desde el principio que la división está mal hecha, ¿cómo puede ser que supere la prueba del 9?
Pues porque la certeza en este caso sólo va en un sentido. Si la división está bien hecha, superará la prueba del 9. Pero que una división supere la prueba del 9 no significa necesariamente que la división esté bien hecha.

Si reflexionamos sobre el procedimiento seguido y las propiedades que utiliza la prueba del 9 es fácil observar que si cambiamos alguno de los elementos de la división por otro que difiera de este en 9 unidades (o un número múltiplo de 9) el resto al dividir entre 9 no variará, por lo que seguirá pasando la prueba del 9. También si intercambiamos las cifras de un número o añadimos tantos ceros o nueves como queramos, obtenemos el mismo resultado en el resto de dividir entre 9.

Por tanto, siendo precisos, si una división supera la prueba del 9 no podemos afirmar que la división está bien hecha (como puede apreciarse en una captura del applet anterior), sino que podemos decir que la prueba del 9 no ha detectado ningún fallo.

El applet dice que la división está bien hecha. Click para agrandar.

Una vez entendidos el procedimiento de la prueba del 9 y sus fundamentos, planteo la siguiente pregunta: ¿por qué el 9 y no otro número?

Como me parece una pregunta lo suficientemente interesante, le dedicaré una entrada propia en el blog (ver entrada "La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?").

División entera vs División exacta

Publicado originalmente el 12 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace algún tiempo hice un comentario sobre una de las preguntas de Matemáticas del programa de televisión "¿Sabes más que un niño de Primaria?". Ayer, después de mucho tiempo sin verlo, volví a escuchar una pregunta que me extrañó. La pregunta fue si 56 : 8 es una división entera.

Yo tengo entendido que cualquier división entre números naturales puede ser entera (siempre que no utilices decimales). Dentro de las divisiones enteras se distinguen dos tipos: división exacta (si el resto es 0) y división inexacta (si el resto no es 0).

En el programa no utilizaron estas definiciones sino que utilizaron el término división entera como lo contrario a división exacta. De hecho, el concursante respondió que sí es una división entera y perdió un comodín porque según el programa no es correcta.

Antes que nada os pido vuestra opinión: ¿qué definición creéis que es la correcta? Y en caso que opinéis lo mismo que yo me surge de nuevo la misma duda: si este concurso coge las preguntas de los libros de texto, ¿enseñamos los docentes a los niños cosas que no son correctas en las clases de Matemáticas?