Particiones de $\mathbb{R}^n$ utilizando la región fundamental de un retículo

 La entrada anterior finalizó observando que con la región fundamental de un retículo completo podemos teselar todo el espacio $\mathbb{R}^n$.

Teselado de $\mathbb{R}^2$ con la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(C))$.

 

 Esto es equivalente a afirmar que el conjunto $\{\vec{v}+\mathcal{F}(\varLambda) \mid \vec{v} \in \varLambda \}$ es una partición de $\mathbb{R}^n$. Es decir, que si hacemos la traslación de la región fundamental utilizando todos los vectores del retículo cubrimos todo el espacio y los "trozos" no se solapan.

 

Ejemplo de 2 traslaciones de una región fundamental

 

Así pues, conociendo una base $B$ de un retículo completo $\varLambda(B)$, podemos caracterizar de manera única cualquier punto/vector de $\mathbb{R}^n$ como la suma de un vector del retículo $\varLambda(B)$ con un vector de la región fundamental $\mathcal{F}(\varLambda(B))$.

 

Por ejemplo, si retomamos el retículo completo sobre $\mathbb{R}^2$ generado por $B = \{(5, 3), (5, 0)\}$ podemos escribir el vector $\overrightarrow{OP}=(9.2,6.8) \in \mathbb{R}^2$ como la suma de un vector del retículo $\vec{w}_1=(5,6) \in \varLambda(B)$ y un vector de la región fundamental $\vec{t}_1=(4.2,0.8) \in \mathcal{F}(\varLambda(B))$.