Retículo generado por un conjunto de vectores

 Sea $B=\{\vec{b_1},...,\vec{b_m}\} \subset \mathbb{R}^n$ un subconjunto de vectores linealmente independientes.

Llamamos $\varLambda(B)$ al conjunto de TODAS las combinaciones lineales ENTERAS de los elementos de $B$.

$$ \varLambda(B) = \{  \sum_{i=1}^{m}z_i·\vec{b_i} \mid z_i \in \mathbb{Z} \}$$

$\varLambda(B)$ es un retículo sobre $\mathbb{R}^n$.

• Dado que los coeficientes de la combinación lineal son enteros, el conjunto $\varLambda(B)$ es discreto.
• Si todos los coeficientes enteros de la combinación lineal son 0, el resultado es el vector $\vec{0}$. Por tanto, $\vec{0} \in \varLambda(B)$.
• Queda por ver que es un conjunto cerrado respecto a la suma y el opuesto. Para ello verificaremos que si $\vec{u},\vec{v} \in \varLambda(B)$, entonces $\vec{u}-\vec{v} \in \varLambda(B)$. Como la resta de coeficientes enteros también es un número entero se cumple este requisito:

$$ \vec{u} \in \varLambda(B) \Rightarrow \exists \{j_1, ..., j_n\} \subset \mathbb{Z} \mid \vec{u}=\sum_{i=1}^{m}j_i·\vec{b_i} $$

$$ \vec{v} \in \varLambda(B) \Rightarrow \exists \{k_1, ..., k_n\} \subset \mathbb{Z} \mid \vec{v}=\sum_{i=1}^{m}k_i·\vec{b_i} $$

$$ \vec{u} - \vec{v} = \sum_{i=1}^{m}j_i·\vec{b_i} -  \sum_{i=1}^{m}k_i·\vec{b_i} = \sum_{i=1}^{m}(j_i-k_i)·\vec{b_i} \xrightarrow{j_i-k_i \in \mathbb{Z}} \vec{u} - \vec{v} \in  \varLambda(B)$$

En este contexto, diremos que $B$ es una base del retículo $\varLambda(B)$.

Si utilizamos la notación matricial para $B=\{\vec{b_1},...,\vec{b_m}\}$:

$$B= \begin{pmatrix}b_{1,1} & \cdots & b_{m,1}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\b_{1,n} & \cdots & b_{m,n}\end{pmatrix}$$

puede expresarse el retículo de la siguiente manera:

$$\varLambda(B) = B · \pmatrix{z_1 \\ \vdots \\ z_m} = B · \mathbb{Z}^m$$

¡OJO! Hemos optado por poner los vectores como columnas de la matriz. También es habitual ponerlos como filas por lo que hay que estar atentos a este hecho para ser coherente con las operaciones posteriores.

Ejemplo de retículo generado por un conjunto de vectores.

Sea $B = \{ (5, 3), (5, 0) \}$. Equivalentemente en notación matricial $B = \pmatrix{5 && 5 \\ 3 && 0}$

Lo vectores son linealmente independientes: geométricamente se ve que no tienen la misma dirección y algebraicamente puede comprobarse que $Rango(B)=2$.

Teniendo en cuenta lo que se mostró en una entrada anterior sobre la combinación lineal de vectores y que los coeficientes de la combinación lineal son enteros, los vectores serán el resultado de "doblar", "triplicar", etc. los vectores originales y/o "darles la vuelta" y hacer diagonales.

En la siguiente imagen pueden verse algunos ejemplos sencillos:

$-\vec{u}, -\vec{v}, 2·\vec{u}, 2·\vec{u}, \vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}, \vec{v} - \vec{u}, 2 · \vec{u} - \vec{v}, 2 · \vec{v} - \vec{u}$

Si seguimos realizando combinaciones lineales enteras, quitamos los vectores y representamos únicamente el punto final de los mismos nos queda la siguiente representación del retículo generado por esos vectores:

Que es exactamente el mismo retículo que pusimos como segundo ejemplo en la entrada anterior.

Y es exactamente el mismo retículo que generaría el conjunto $C = \{(0,3), (5,0)\}$ o el conjunto $D = \{(-5,3), (0,-3)\}$.