En entradas anteriores expliqué la suma de dos vectores y el producto de un vector por un escalar. Llamamos combinación lineal de dos vectores ($\vec{u}$ y $\vec{v}$) cuando combinamos ambas operaciones en una expresión del tipo:
$k · \vec{u} + q · \vec{v}$ donde $k$ y $q$ son escalares.
Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$, si tenemos los vectores $\vec{u}$ = (2, 2) y $\vec{v}$ = (4, -1) podemos calcular la siguiente combinación lineal (con $k = 2$ y $q = 1.5$):
$$k · \vec{u} + q · \vec{v} = 2 · (2, 2) + 1.5 · (4, -1) = (4, 4) + (6, -1.5) = (10, 2.5)$$
Desde el punto de vista geométrico, la combinación lineal de dos vectores consiste en primero "estirar", "acortar" y/o "dar la vuelta" a los vectores en función de lo que indiquen los escalares que los multiplican y después trazar la diagonal del paralelogramo generado.
El resultado de este procedimiento puede observarse en el siguiente script interactivo de Geogebra con dos vectores y dos deslizadores que representan los escalares que los multiplican.
Se pueden mover los deslizadores para cambiar los escalares y los puntos B y C para cambiar los vectores. Podéis cambiar el zoom con la rueda del ratón y moveros por el plano pinchando y arrastrando sobre una zona libre.
NOTA: Si desde el listado de entradas del blog no se visualiza el script abrid esta entrada en otra ventana.
La combinación lineal puede ser de más de dos vectores y funciona exactamente igual en cualquier dimensión:
$k_1 · \vec{u_1} + ... + k_n · \vec{u_n}$ donde $\vec{u_i}$ son vectores y $k_i$ son escalares
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