Integrales para el cálculo de áreas de figuras planas (y III)

En la primera entrada vimos cómo calcular mediante una integral el área de una figura de la cual conocemos una ecuación cartesiana de su contorno.

En la segunda entrada reflexionamos sobre algunos inconvenientes que podemos encontrar al intentar aplicar el método anterior y vimos una alternativa si conocemos unas ecuaciones paramétricas de la curva que define el contorno.

En esta última entrada vemos cómo calcular el área de una figura si conocemos una ecuación polar del contorno. En ese caso, de manera parecida a lo que realizamos con las ecuaciones paramétricas, el área que encierra una curva, expresada mediante una ecuación polar, viene determinada por una integral:

Pongamos como ejemplo la cardioide

cuya ecuación polar es r(s)=a·(1-cos(s)), con 0<= s < 2·pi.

Entonces el área que encierra dicha figura es:

Aplicando el mismo método a la Lemniscata de Bernoulli, de ecuación polar

r² = a²·cos(2s), con s en [-pi/4, pi/4] U [3*pi/4, 5*pi/4]

obtenemos (tomando sólo la mitad de la lemniscata):

Y por tanto, por la simetría de la curva, el área de la lemniscata completa es a² unidades cuadradas.

Con esto doy por concluida esta serie de entradas. Espero que sean de utilidad.

Integrales para el cálculo de áreas de figuras planas (II)

Acabé la anterior entrada proponiendo realizar el mismo procedimiento de cálculo de área con otra figura, la Lemniscata de Bernoulli.

(x²+y²)² = a·(x²-y²)

Si lo habéis intentado os habréis topado con algunas dificultades, comparado con el procedimiento realizado con la elipse. En el caso de la elipse pudimos despejar fácilmente la variable "y" de la ecuación cartesiana implícita, pero en el caso de la lemniscata no resulta tan sencillo. Aunque se puede realizar, y obtenemos las funciones:

De manera análoga a lo que hicimos con la elipse, como la lemniscata tiene ejes de simetría en los ejes OX y OY, podemos calcular la integral de la función positiva anterior. Pero para ello debemos hallar una primitiva de la función.

Bueno, no parece una tarea sencilla. Sin embargo, afortunadamente tenemos otros métodos (no incluidos en el temario de 2º de Bachillerato, sino en la formación universitaria) para calcular el área encerrada por una curva. Recurrimos a las integrales dobles:

Gracias al teorema de Green, si la curva cumple unas determinadas condiciones, podemos transformar la integral doble anterior en una integral de contorno:

(Nota: también existen otras expresiones equivalentes para calcular el área)

¿Cómo nos facilita todo lo anterior el cálculo del área? Pues si conocemos una ecuación paramétrica del contorno, podemos calcular el área como una integral de línea que se transforma en una integral simple:

En nuestro ejemplo de la Lemniscata de Bernoulli, conocemos sus ecuaciones paramétricas (0 <= t < 2·pi):

Teniendo en cuenta que la lemniscata es simétrica respecto al eje OY, calculamos el área de uno de los trozos de la lemniscata que forma una curva cerrada simple, de la siguiente manera:

Por tanto, el área de la Lemniscata de Bernoulli es igual a a² unidades cuadradas.

Podríamos haber utilizado las ecuaciones paramétricas de la elipse (0 <= t < 2·pi)

x = a·cos(t)

y = a·sen(t)

para calcular el área con este procedimiento y obtendríamos:

En la próxima entrada explicaré lo que podemos hacer cuando conocemos la ecuación polar del contorno de la figura de la que queremos calcular su área.

Integrales para el cálculo de áreas de figuras planas (I)

En la educación básica nos enseñan algunas fórmulas para calcular el área (medida de la superficie) de algunas figuras geométricas sencillas como el rectángulo (base · altura), el triángulo (base · altura / 2) y el círculo (pi · radio²).

Nótese que sólo con la fórmula del área del triángulo podemos calcular (con la medida de los segmentos oportunos) el área de cualquier figura poligonal.

Y con el área del círculo podemos calcular (además del área de coronas y sectores circulares) el área de otras figuras como las de los ejemplos siguientes:

Pero, ¿qué pasa cuando la figura no es tan "sencilla"?

Pues que si conocemos la curva que define el contorno podemos calcular el área que encierra.

Veamos primero qué podemos hacer si conocemos una expresión algebraica cartesiana del contorno, pongamos como ejemplo una elipse:

x²/25 + y²/9 = 1

Si despejamos la variable "y" de la ecuación obtenemos dos funciones (positiva y negativa). Utilizando contenidos que se ven en 2º de Bachillerato, si tomamos el valor absoluto de la integral definida por dichas funciones en el intervalo de la variable "x" (de -5 a 5 en nuestro ejemplo) obtenemos

para la función positiva. Para la función negativa obtenemos el mismo resultado por lo que la suma (el área total de nuestra elipse) resulta 15·pi (unidades cuadradas).

Como la elipse tiene eje de simetría en el eje OX y otro en el eje OY también podríamos haber calculado la integral definida de la función positiva en el intervalo (0,5) y multiplicar el resultado por 4.

Y el método podemos aplicarlo para hallar una fórmula del área de cualquier elipse (ecuación x²/a² + y²/b² = 1):

Por tanto, el área de una elipse con semiejes a y b es pi·a·b. (¿Qué pasa cuando los semiejes son iguales?)

¿Quieres intentarlo con otra figura? Prueba con la Lemniscata de Bernoulli:

(x²+y²)² = a·(x²-y²)

Continua aquí.

Para entretense: ¿Dónde se cortan?

¿ En qué puntos corta la recta y=x a la curva paramétrica
(x(t),y(t)) = (sin(2t),cos(3t)) ?

¿Nos explicas cómo lo resuelves?