Integrales para el cálculo de áreas de figuras planas (y III)

En la primera entrada vimos cómo calcular mediante una integral el área de una figura de la cual conocemos una ecuación cartesiana de su contorno.

En la segunda entrada reflexionamos sobre algunos inconvenientes que podemos encontrar al intentar aplicar el método anterior y vimos una alternativa si conocemos unas ecuaciones paramétricas de la curva que define el contorno.

En esta última entrada vemos cómo calcular el área de una figura si conocemos una ecuación polar del contorno. En ese caso, de manera parecida a lo que realizamos con las ecuaciones paramétricas, el área que encierra una curva, expresada mediante una ecuación polar, viene determinada por una integral:

Pongamos como ejemplo la cardioide

cuya ecuación polar es r(s)=a·(1-cos(s)), con 0<= s < 2·pi.

Entonces el área que encierra dicha figura es:

Aplicando el mismo método a la Lemniscata de Bernoulli, de ecuación polar

r² = a²·cos(2s), con s en [-pi/4, pi/4] U [3*pi/4, 5*pi/4]

obtenemos (tomando sólo la mitad de la lemniscata):

Y por tanto, por la simetría de la curva, el área de la lemniscata completa es a² unidades cuadradas.

Con esto doy por concluida esta serie de entradas. Espero que sean de utilidad.