jueves, 14 de noviembre de 2013

Parábola que pasa por 3 puntos (dos resoluciones)

Problema: Encontrar la ecuación de la parábola que pasa por 3 puntos conocidos.

Primera resolución:

Posiblemente la vía de resolución que primero viene a la cabeza a la mayoría de nosotros es substituir en la forma más habitual de la función cuadrática (y=ax²+bx+c) los puntos conocidos y resolver el sistema resultante.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (-1,2), (1,3) y (3,-1).

Substituimos los puntos anteriores en la expresión y=ax²+bx+c quedando el siguiente sistema:
2 = a·(-1)² + b·(-1) + c
3 = a·(1)² + b·1 + c
-1 = a·(3)² + b·3 + c

Resolviendo el sistema anterior obtenemos la solución:
a = -5/8; b = 1/2; c=25/8

Por tanto, la ecuación de la parábola que pasa por los puntos dado es:

En wxMaxima se puede resolver la situación anterior con las instrucciones:
e:y=a*x^2+b*x+c;
P:[-1,2]; Q:[1,3]; R:[3,-1];
linsolve([subst([x=P[1],y=P[2]],e),subst([x=Q[1],y=Q[2]],e),subst([x=R[1],y=R[2]],e)],[a,b,c]);
subst(%,e);

Gráficamente los puntos y la parábola quedan representados de la siguiente manera:

Segunda resolución:

La expresión y=ax²+bx+c es sin duda la forma más utilizada de la función cuadrática, pero no la única. Por ejemplo tenemos la forma factorizada y=a·(x-r)·(x-s), donde r y s son las raíces de la función, o la forma canónica y=a·(x-h)²+k, donde (h,k) son las coordenadas del vértice de la parábola.

Por tanto, en función de los datos que conozcamos y los que queramos encontrar puede ser ventajoso utilizar una u otra forma.

Para la segunda resolución del problema de esta entrada vamos a utilizar otra forma de la función cuadrática: y=A(x-z)²+B(x-z)+C, donde z es CUALQUIER abscisa.

¿Qué ventaja nos puede aportar la forma anterior? Pues que si ponemos en z la abscisa de alguno de los puntos conocidos, el sistema resultante de substituir los puntos conocidos queda más simple.

En el ejemplo puesto anteriormente, hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (-1,2), (1,3) y (3,-1), si escogemos el valor de z como (por ejemplo) la abscisa del segundo punto, la ecuación de la función cuadrática la podemos expresar de la siguiente manera: y=A(x-1)²+B(x-1)+C

Al substituir las coordenadas de los puntos conocidos en la ecuación anterior obtenemos el sistema:
2 = 4·A - 2·B + C
3 = C
-1 = 4·A + 2·B +C

Observamos que automáticamente obtenemos el valor de una de las incógnitas y por tanto, si la substituimos en las otras ecuaciones, nos queda por resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Así pues, obtenemos la solución
A = -5/8; B = -3/4; C = 3
quedando la siguiente ecuación de la parábola:

Representación gráfica del problema:

En wxMaxima la resolución anterior puede realizarse con las instrucciones:
u:y=A*(x-z)^2+B*(x-z)+C;
P:[-1,2]; Q:[1,3]; R:[3,-1];
linsolve([subst([z=Q[1],x=P[1],y=P[2]],u),subst([z=Q[1],x=Q[1],y=Q[2]],u),subst([z=Q[1],x=R[1],y=R[2]],u)],[A,B,C]);
subst(%,u);

Nota: si se quiere obtener la forma y=ax²+bx+c basta ejecutar la instrucción expand(%) al final.


Para finalizar esta entrada os propongo como ejercicio de práctica de manipulación simbólica que encontréis las equivalencias entre los coeficientes de la forma y=ax²+bx+c y la forma y=A(x-z)²+B(x-z)+C.

Solución al ejercicio de encontrar las expresiones de equivalencia de los coeficientes:

- Pasar de forma 1 a forma 2:
A = a
B = b + 2az
C = c + bz + az²

- Pasar de forma 2 a forma 1:
a = A
b = B - 2Az
c = C -Bz + Az²


Otras entradas del blog sobre parábolas:
- Dibujando parábolas

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