Integrales para el cálculo de áreas de figuras planas (I)

En la educación básica nos enseñan algunas fórmulas para calcular el área (medida de la superficie) de algunas figuras geométricas sencillas como el rectángulo (base · altura), el triángulo (base · altura / 2) y el círculo (pi · radio²).

Nótese que sólo con la fórmula del área del triángulo podemos calcular (con la medida de los segmentos oportunos) el área de cualquier figura poligonal.

Y con el área del círculo podemos calcular (además del área de coronas y sectores circulares) el área de otras figuras como las de los ejemplos siguientes:

Pero, ¿qué pasa cuando la figura no es tan "sencilla"?

Pues que si conocemos la curva que define el contorno podemos calcular el área que encierra.

Veamos primero qué podemos hacer si conocemos una expresión algebraica cartesiana del contorno, pongamos como ejemplo una elipse:

x²/25 + y²/9 = 1

Si despejamos la variable "y" de la ecuación obtenemos dos funciones (positiva y negativa). Utilizando contenidos que se ven en 2º de Bachillerato, si tomamos el valor absoluto de la integral definida por dichas funciones en el intervalo de la variable "x" (de -5 a 5 en nuestro ejemplo) obtenemos

para la función positiva. Para la función negativa obtenemos el mismo resultado por lo que la suma (el área total de nuestra elipse) resulta 15·pi (unidades cuadradas).

Como la elipse tiene eje de simetría en el eje OX y otro en el eje OY también podríamos haber calculado la integral definida de la función positiva en el intervalo (0,5) y multiplicar el resultado por 4.

Y el método podemos aplicarlo para hallar una fórmula del área de cualquier elipse (ecuación x²/a² + y²/b² = 1):

Por tanto, el área de una elipse con semiejes a y b es pi·a·b. (¿Qué pasa cuando los semiejes son iguales?)

¿Quieres intentarlo con otra figura? Prueba con la Lemniscata de Bernoulli:

(x²+y²)² = a·(x²-y²)

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