jueves, 7 de febrero de 2013

La prueba del 9

¿Conocéis la prueba del 9 para las divisiones?

Hoy en día no se encuentra en los libros de texto así que para los que no la hayáis visto nunca o aquellos que necesitéis refrescar la memoria ahí va una pequeña explicación.

Todo parte del concepto de división entera y la relación entre sus diferentes elementos (dividendo, divisor, cociente y resto):
D = d · c + r
(con el resto siempre menor que el divisor)

Sabemos que si el algoritmo de cálculo de división está bien hecho, la relación anterior debe cumplirse. Así es como muchos de los libros de texto sugieren que se compruebe si una división está bien hecha.

Ejemplos sencillos:

Realizo la división 100 entre 23 y obtengo como cociente 4 y resto 8.
Compruebo si me he equivocado, resto (8) menor que divisor (23) y 23·4+8=92+8=100. Correcto.

Realizo la división 270 entre 120 y obtengo como cociente 2 y resto 3.
Compruebo  si me he equivocado, resto (3) menor que divisor (120) y 120·2+3=240+3=243 !!! En algún sitio me he tenido que equivocar.

La equivocación del último ejemplo no es azarosa sino que responde a un error que se produce con cierta frecuencia, así que os dejo como entretenimiento interesante que descubráis la causa por la que me he equivocado (no es difícil).

Pero en otro tiempo, especialmente cuando no se disponía de calculadoras para hacer comprobaciones de los cálculos y los algoritmos de la división eran más tediosos y complejos (véase como ejemplo el método de la galera), era habitual recurrir a algunos métodos de comprobación del resultado de las operaciones.
 
Hace relativamente pocos años aún podíamos encontrar en los libros de texto una sugerencia para comprobar si nos habíamos equivocado en una división: la denominada prueba del 9.

Para entender los fundamentos de dicha regla podemos acudir a la aritmética modular. Simplificando mucho la cuestión, la clave para entender la prueba del 9 está en que si tenemos una igualdad A = B, entonces los restos de dividir ambos términos de la igualdad (A y B) por otro número (en nuestro caso 9) coincidirán.

Llegados a este punto hay dos cuestiones a destacar:

1. El resto de una división entre 9 coincide con el resto de cambiar el dividendo por el número resultante de sumar todas sus cifras. Esto nos permite calcular fácilmente los restos sin necesidad de realizar la división.

Ejemplos:

Para conocer el resto de 100/9 sumo todas las cifras de 100, 1+0+0=1. Por tanto, el resto de 100/9 es 1.

Para conocer el resto de 888/9 sumo todas las cifras de 888, 8+8+8=24. El resto de 888/9 coincide con el resto de 24/9. Repito la operación de sumar todas las cifras del dividendo (24), 2+4=6. El resto de 888/9 es 6.

2. Un resultado muy útil de la aritmética modular es que el resto de la división (A+B)/C coincide con la suma de los restos de A/C y B/C; y lo mismo sucede para la resta y la multiplicación. Esto me permite simplificar las operaciones e ir trabajando con números más pequeños.

Ejemplo: Para calcular el resto de (23 · 4 + 8) entre 9 tanto puedo operar primero y luego calcular el resto del resultado, como primero calcular los restos de cada número y luego operar con ellos:
El resto de 23/9 es 2+3=5; 4 y 8 son menores que 9 por lo que ellos mismos son los restos de dividirlos entre 9. Por tanto, el resto de 23·4+8 entre 9 coincide con el resto de 5·4+8 entre 9.
5·4+8 = 20+8 = 28 cuyo resto al dividir entre 9 lo calculo de la manera descrita: 2+8=10, 1+0=1.

Visto lo anterior ya podemos aplicar la prueba del 9 porque no es más que comprobar que la relación D = d · c + r se cumple módulo 9, es decir, que los restos de la divisiones D/9 y (d · c + r)/9 coinciden.

Ejemplos:

Tras realizar la división 100 entre 23 obtuvimos cociente 4 y resto 8. Si la división está bien hecha se cumple la igualdad 100 = 23 · 4 + 8 por lo que también debe cumplirse la igualdad módulo 9, es decir que coinciden los restos de dividir entre 9 ambos términos de la igualdad.
En ejemplos anteriores hemos visto que el resto de la división 100 entre 9 es 1 y que el resto de la división (23 · 4 + 8) entre 9 también es 1. Luego, la división realizada supera la prueba del 9.

Al realizar la división 325 / 7 obtengo cociente 47 y resto 2.
Calculo el resto de 325/9.  3+2+5=10; 1+0=1. El resto es 1.
Calculo el resto de 47/9. 4+7=11; 1+1=2. El resto es 2.
El divisor (7) y el resto (2) se quedan igual por ser menores que 9.
El resto de (d · c + r)/9 lo calculo de la siguiente manera:
7·2+2 = 14+2 = 16; 1+6 = 7.
El resto de D/9 da 1 y el resto de (d · c + r)/9 da 7, por lo que no supera la prueba del 9. Luego, la división está mal hecha.

Aquí podéis encontrar un applet explicativo en el que tras realizar una división le introducís los términos para comprobar si superan o no la prueba del 9.

Obsérvese ahora este otro ejemplo, de una de las divisiones realizadas al principio de esta entrada:

Al dividir 270 entre 120 obtuvimos cociente 2 y resto 3.
Calculamos el resto de dividir 270 entre 9; 2+7+0=9 por lo que el resto es 0 (9/9 da cociente 1 y resto 0).
El resto de dividir 120/9 es 1+2+0=3. El cociente (2) y el resto (3) se quedan igual. Utilizando estos datos calculamos ahora el resto de (d · c + r)/9
3·2+3 = 6+3 = 9 por lo que el resto es 0.
El resto de las divisiones D/9 y (d · c + r)/9 coinciden, luego la división realizada supera la prueba del 9.


Si sabemos desde el principio que la división está mal hecha, ¿cómo puede ser que supere la prueba del 9?
Pues porque la certeza en este caso sólo va en un sentido. Si la división está bien hecha, superará la prueba del 9. Pero que una división supere la prueba del 9 no significa necesariamente que la división esté bien hecha.

Si reflexionamos sobre el procedimiento seguido y las propiedades que utiliza la prueba del 9 es fácil observar que si cambiamos alguno de los elementos de la división por otro que difiera de este en 9 unidades (o un número múltiplo de 9) el resto al dividir entre 9 no variará, por lo que seguirá pasando la prueba del 9. También si intercambiamos las cifras de un número o añadimos tantos ceros o nueves como queramos, obtenemos el mismo resultado en el resto de dividir entre 9.

Por tanto, siendo precisos, si una división supera la prueba del 9 no podemos afirmar que la división está bien hecha (como puede apreciarse en una captura del applet anterior), sino que podemos decir que la prueba del 9 no ha detectado ningún fallo.
El applet dice que la división está bien hecha. Click para agrandar.

Una vez entendidos el procedimiento de la prueba del 9 y sus fundamentos, planteo la siguiente pregunta: ¿por qué el 9 y no otro número?

Como me parece una pregunta lo suficientemente interesante, le dedicaré una entrada propia en el blog (ver entrada "La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?").

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