La prueba del 5 (o ¿necesariamente tiene que ser un 9?)

Esta entrada es una continuación de la entrada anterior, titulada La prueba del 9.

Si bien la prueba del 9 se conoce popularmente para comprobar las divisiones, esta regla también se puede utilizar para cualquiera de las otras operaciones básicas. Por ejemplo, la prueba del 9 para comprobar la multiplicación A · B = C consiste en ver si coincide el resto de la división C/9 con el resto de la división (A · B) / 9, que en aritmética modular puede calcularse como la multiplicación de los restos de A/9 y B/9.

Ejemplo: 235256 · 89754 = 21115167024
Primer factor 2+3+5+2+5+6 = 23; 2+3 = 5. El resto es 5.
Segundo factor 8+9+7+5+4 = 33; 3+3 = 6. El resto es 6.
Resultado 2+1+1+1+5+1+6+7+0+2+4 = 30; 3+0=3. El resto es 3.
El resto de 5·6 = 30 dividido entre 9 es 3+0=3 que coincide con el resto del resultado entre 9.
Por tanto, la multiplicación supera la prueba del 9.

Libro de texto. Aritmética de 2º grado. Luis Vives, 1949.

Una referencia muy interesante sobre estas cuestiones es el primer apartado del tercer capítulo de la obra Aritmética Recreativa del gran divulgador Yakov Perelman.

Volviendo a la cuestión con la que cerraba la entrada anterior, una vez que uno entiende los fundamentos de la prueba del 9 puede observar que las relaciones utilizadas en aritmética modular siguen funcionando para cualquier número, es decir, no necesariamente tiene que ser un 9.

Tras hacerme esa interesante pregunta, descubrí que el mismo Perelman hacía una referencia a esto en el texto citado anteriormente:

"Nuestros antecesores (...) no se limitaban a una sola comprobación por medio del nueve, sino que efectuaban inclusive una comprobación complementaria por medio del siete."

Yakov Perelman

Entonces, si puedo hacer la prueba calculando los restos de la división por el número que yo elija, ¿por qué el 9?

Primera razón: la idea principal es comprobar un cálculo realizado por lo que la comprobación debería ser relativamente más sencilla que el propio cálculo a comprobar.

Perelman, en el texto citado, realiza la siguiente afirmación:

"La verificación complementaria del siete, es bastante agotadora. (...) en lugar de dividir por 7 resulta más conveniente dividir por 11."

Hemos visto que calcular el resto de una división entre 9 es muy sencillo con el procedimiento de sumar las cifras del dividendo. Perelman propone cambiar el 7 por el 11 porque existe un procedimiento relativamente sencillo para calcular el resto de una división entre 11. Pero también son bastante conocidos métodos muy sencillos para calcular el resto de divisiones entre 2, 5 o 10, para los que basta mirar la última cifra, o el resto de divisiones entre 3, que es análogo al método para calcular el resto del 9.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la prueba del 5 (las divisiones del principio de la entrada anterior):

Realizo la división 100 entre 23 y obtengo como cociente 4 y resto 8.

El resto de 100/5 es 0.

El resto de (23 · 4 + 8)/5 es igual al resto de (3 · 4 + 3)/5 = 15/5 que es 0.

Ambos restos coinciden por lo que la división supera la prueba del 5. 

Realizo la división 270 entre 120 y obtengo como cociente 2 y resto 3.

El resto de 270/5 es 0.

El resto de (120 · 2 + 3)/5 es igual al resto de (0 · 2 + 3)/5 = 3/5 que es 3.

Los restos no coinciden por lo que no supera la prueba del 5. Por tanto, la división no está bien hecha.

Nota: Recordad que este era un ejemplo de "falso positivo" de la prueba del 9.

Entonces esta razón parece no ser suficiente para justificar las ventajas de escoger el 9 para hacer la prueba de la división, dado que otros números hacen más sencilla la comprobación.

Segunda razón: si aumentamos la cantidad de cifras que se ven involucradas en la comprobación, tendremos más control sobre la detección de errores. Dicho de otra manera, los procedimientos para calcular el resto de 2, 5 y 10, que son los más sencillos, se basan únicamente en la última cifra por lo que un error en cualquiera de las otras cifras pasa desapercibido siempre que coincida la última de cada elemento de la división (falsos positivos). En este sentido, los procedimientos para calcular el resto de divisiones entre 3, 9 y 11, que utilizan todas las cifras, presentan ventajas sobre los otros.

Tercera razón: Cuanto mayor sea el número escogido para dividir en la comprobación, mayores son los números que deben operarse en dicha prueba. Esto es un inconveniente. Sin embargo, aumentar el número escogido significa también aumentar la "precisión" en la detección de errores, es decir, disminuye la aparición de falsos positivos. Esto se puede entender fácilmente si pensamos que en los restos de dividir entre 3 los primeros 99 números tenemos 33 números con resto 0, otros 33 que coinciden con el resto 1 y otros 33 que coinciden con el resto 2. Cuanto mayor sea el número de coincidencias más probabilidad existe de que se produzcan falsos positivos. En la misma cadena de números si dividimos entre 9 tendríamos 11 coincidencias para cada resto (en lugar de las 33 en los restos de dividir entre 3) y si dividimos entre 11 tendríamos 9 coincidencias para cada resto.

Teniendo en cuenta todo lo anterior parece razonable concluir que la prueba más efectiva, en términos de sencillez sin aumentar excesivamente los falsos positivos, es la prueba del 11, seguida de la del 9.

Otra opción es, como se hacía cuando se usaban este tipo de pruebas para asegurar en cierta medida la validez de largos y tediosos o importantes cálculos, pasar más de una prueba. Por ejemplo podemos pasar la prueba del 99 (que sería pasar primero la del 9 y luego la del 11) o pasar primero una prueba de las más sencillas (2, 5 o 10) y después la del 9 o la del 11. ¿Qué os parece pasar la prueba del 45?

Pero la conclusión más importante que quiero transmitir de todo esto es lo útil e interesante que resulta profundizar sobre un concepto o procedimiento matemático. Aunque la prueba del 9 como comprobación de un cálculo resulte desfasada teniendo calculadoras y dejando claro que no soy en absoluto partidario de recuperarla en los currículos, ha sido una buena excusa para aprender muchas cosas en el camino recorrido. Aprendizaje a través de la investigación.

Actualización: después de escribir esta entrada he descubierto un artículo publicado en la revista SUMA (nº 30, p. 53-58) que puede servir como referencia complementaria a algunos de los aspectos aquí tratados: Una nueva mirada a "la prueba del 9".