Métodos iterativos para resolver ecuaciones (I): introducción

En la Educación Secundaria nos enseñan a encontrar la solución de las ecuaciones de primer grado y también un método para encontrar, en caso de existir, la/s solución/ones de ecuaciones de segundo grado.

Para resolver ecuaciones de orden superior nos enseñan un método de tanteo que utiliza el teorema del resto y el procedimiento de Ruffini. 

Curiosidades: ¿sabías que también existe una forma analítica de resolver ecuaciones de tercer grado? ¿y también para ecuaciones de cuarto grado? ¿Y sabías que está demostrado que no es posible encontrar métodos de este tipo para ecuaciones de grado mayor que 4?

Supongamos que estamos interesados en conocer la/s solución/ones real/es de la siguiente ecuación:

Pregunta: ¿Por qué podemos estar seguros de que tiene por lo menos una solución real?

Tras probar los valores 1, -1, 3 y -3 mediante el procedimiento de Ruffini podemos concluir que la ecuación no tiene soluciones racionales. (¿No sabes por qué? Aquí la explicación.)

Pedimos a wxMaxima que resuelva directamente la ecuación anterior:

solve(x^5+3*x^4−2*x^3−x^2+5*x−3=0,x);

Seguimos sin respuesta.

(Nota: otros programas dan las soluciones de la ecuación anterior cuando se les pide directamente que la resuelvan, pero lo hacen utilizando los métodos que vamos a comentar a continuación.)

Entonces, es momento de recurrir a otro tipo de métodos (que no se enseñan en ESO) para obtener una aproximación decimal de la/s solución/ones reales de la ecuación: los métodos iterativos.

Dos de los métodos más conocidos (y sencillos) son el método de bisección (una aplicación del teorema de Bolzano que se enseña en 2º de Bachillerato) y el método de Newton (que se enseña en algunos estudios universitarios).

Los métodos anteriores también pueden aplicarse a funciones no polinómicas, pero tienen limitaciones importantes. Por ejemplo el método de bisección exige continuidad para asegurar la convergencia y el método de Newton exige derivabilidad y en algunos casos puede entrar en ciclos que no convergen.

En las próximas entradas de esta serie veremos estos métodos y cómo implementarlos en wxMaxima.

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