La historieta de Martin y Gala: desde un enfoque probabilístico

En esta entrada voy a plantear una resolución de la historia de Martin y Gala, utilizando un enfoque probabilístico.

Para no hacer tan tedioso el trabajo y la explicación, primero voy a simplificar la situación y reducir el número de puntos necesarios para pasar a Gala a 3.

Así que el invitado comienza a tirar la moneda hasta que obtiene 3 puntos mediante acumulación de la cara +1, es decir obtiene 3 veces consecutivas un +1. Si obtiene la cara x0 tiene que volver a empezar. Diremos que ha acabado "1 juego" cuando pase alguna de las situaciones anteriores.

Así pues, el árbol de probabilidad de 1 juego queda de la siguiente manera:

Siendo la probabilidad de cada una de las ramas 1/2 por ser equiprobables las caras de la moneda.

La probabilidad de que un juego concluya con 3 puntos es (1/2)·(1/2)·(1/2) = 1/8. La probabilidad de que un juego acabe borrando los puntos acumulados y teniendo que contestar una pregunta de Martin es 7/8.

Si ahora lo que hacemos es ir repitiendo juegos (hasta que uno concluya con 3 puntos), la distribución que estamos utilizando es una binomial con probabilidad de éxito 1/8.

¿Cuántas veces se espera en dicha distribución que tenga que jugar hasta tener un éxito? La esperanza de la ditribución B(n,p) es igual a n·p, por lo que el número de veces que tiene que jugar el invitado para que lo que se espere es que pueda pasar a Gala (esperanza igual a 1) sale de la igualdad: 1 = n · 1/8.

Por tanto, se espera que el invitado pase cuando haya jugado 8 veces, es decir, que se espera que haya tenido que contestar 7 preguntas de Martin antes de pasar.

Resulta sencillo ahora hacer la generalización: para pasar a Gala, Martin decide que el invitado debe acumular x puntos.

La probabilidad de concluir un juego acumulando x puntos es (1/2)^x. Por lo que la esperanza de la B(n,(1/2)^x) es igual a n · (1/2)^x. Dicha esperanza es igual a 1 cuando n = 2^x, por lo que se espera que el invitado tenga que contestar (2^x)-1 preguntas de Martin antes de pasar a Gala.

En el caso de la historia inicial, se espera que el invitado conteste 255 preguntas antes de pasar a Gala.


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