¿2008 es divisible por 8?

Publicado originalmente el 24 de diciembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Es una pregunta muy sencilla. Basta dividir 2008 entre 8 y ver si el resto es 0.

Como 8 es 2 · 2 · 2, otra opción es hacer la mitad de la mitad de la mitad y si siempre da un número natural, entonces el número es divisible por 8 (en ocasiones mentalmente resulta más fácil hacer tres veces la mita que dividir entre 8). Pero ésto sigue siendo dividir el número entre 8 (aunque sea de otra manera).

¿Hay otra manera de saber si un número es divisible por 8? Ésto es lo que se conoce con el nombre de criterio de divisibilidad (en este caso del 8). En todos los libros de texto de Primaria y Secundaria podemos encontrar (sin justificación) los criterios de divisibilidad del 2, del 3, del 5 y del 10 (y con suerte alguno más como el 9 o el 11).

Para aquellos que no lo saben (o no se acuerdan) intentemos descubrir algún criterio de divisibilidad por 8.

Sea X un número que en base decimal escribiríamos de la siguiente forma:

X = a_na_(n-1)…a₃a₂a₁a₀ donde cada a_i es un dígito del 0 al 9 (incluidos)

En realidad ésto es una notación que utilizamos para simplificar la expresión:

X = a_n · 10ⁿ + a_(n-1) · 10^(n-1) + … + a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

Recordemos que hemos dicho que un número es divisible por 8 si el resto de la división entre 8 da 0. Por tanto, ésto es equivalente a decir que el número es congruente con 0 (módulo 8). (Nota: A partir de este momento algunas igualdades son congruencias módulo 8.)

Antes de ver la congruencia módulo 8 de nuestro número veamos qué congruencia módulo 8 tienen las potencias de 10:

10 = 2 ( ya que 2 es el resto de la división 10:8 )

10² = 100 = 4 ( ya que 4 es el resto de la división 100:8)

10³ = 1000 = 0 ( ya que 1000 es divisible por 8 )

10^m = 10³ · 10^m-3 = 0 · 10^m-3 = 0 Es decir, toda potencia de 10 mayor que 100 es divisible por 8.

Por tanto, observemos la congruencia módulo 8 de nuestro número:

X = a_n · 10ⁿ + a_(n-1) · 10^(n-1) + … + a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

= a_n · 0 + a_(n-1) · 0 + … + a₃ · 0 + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀ = a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

Así pues, hemos deducido que un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras (a₂a₁a₀) es divisible por 8.

De esta forma, el caso de 2008 es muy fácil ya que sólo tenemos que comprobar si 008 = 8 es divisible por 8. También es muy fácil saber si el número 6516874654684765463486800 es divisible por 8 sólo con un vistazo utilizando el criterio de divisibilidad (en este caso yo mentalmente no llego a hacer la mitad de este número)

PD1: El razonamiento seguido para llegar al criterio de divisibilidad del 8 es análogo para criterios de divisibilidad de muchos otros números. Quien quiera puede demostrar los criterios que siempre ha utilizado sin saber por qué y deducir otros que no son tan conocidos.

PD2: Desde mi punto de vista, salvo en la implementación de algoritmos en ordenadores, el objetivo de los criterios de divisibilidad debe ser simplificar un cálculo que queremos realizar. Cuando el criterio se vuelve más complejo que la propia división no tienen ningún sentido utilizarlo (por ejemplo el criterio de divisibilidad por 7).

PD3: También podíamos haber dicho que el criterio de divisibilidad del 8 es comprobar si 4 veces la cifra de las centenas más dos veces la cifra de las decenas más la cifra de las unidades (4 · a₂ + 2 · a₁ + a₀) es divisible por 8, pero se aplica lo que he dicho en PD2.