Un retículo (lattice) sobre un espacio euclídeo R^n es un subgrupo discreto de R^n.
Dicho de otra manera, un retículo es un subconjunto no vacío de vectores de R^n que cumplen:
- Conjunto discreto. Intuitivamente podemos decir que puede hallarse una distancia mínima que cumplen TODOS los pares de vectores (no hay continuidad).
- Contiene el elemento neutro (el vector 0).
- Cerrado respecto a la suma. Es decir, si dos vectores (u y v) pertenecen al retículo, entonces el resultado de su suma (u + v) también debe pertenecer al retículo.
- Cerrado respecto al opuesto. Es decir, si un vector (u) pertenece al retículo, entonces su opuesto (-u) también debe pertenecer al retículo.
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| Representación de algunos vectores del primer retículo |
Otro ejemplo sobre R^2 son los vectores de la forma (5·a, 3·b) con a y b enteros.
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| Representación de algunos vectores del segundo retículo |
Estas representaciones, aún siendo parciales, pueden llegar a ser bastante densas así que no representaremos los vectores completos sino únicamente el punto final al que apuntan. Si hacemos esto se observa que se forma una especie de red/malla/retículo.
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| Puntos finales de los vectores del primer retículo |
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| Puntos finales de los vectores del segundo retículo |
Dichas mallas forma "trozos".
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Los trozos que se forman en el primer retículo son segmentos de una recta (eje X)
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| Los "trozos" que se forman en el segundo retículo son rectángulos. |
Si los "trozos" llenan todo el espacio decimos que el retículo es completo (de rango completo).
Sobre R^2 el primer retículo no es completo porque no cubre todo el plano, pero el segundo retículo sí.
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