En la entrada anterior puse un problema en el que teníamos que contar cuántos cartones de bingo diferentes podíamos construir siguiendo unas reglas dadas: sin que se repita ninguna fila, columna o diagonal.
Que ninguna pareja de cartones tenga alguna fila igual se entiende perfectamente. Lo mismo con columnas. Pero, ¿qué se entiende por diagonal del cartón? Si vemos el cartón como una matriz de 5x5, ¿hablamos sólo de la diagonal principal de la matriz? ¿también la diagonal secundaria (antidiagonal)? En este sentido el enunciado me genera dudas de interpretación. Así que desarrollaré un programa que pueda contestar a la pregunta interpretando ambas opciones.
El código en Python puede encontrarse en el repositorio de Matemática Recreativa que creé en GitHub.
Si queremos quitar la condición de la antidiagonal podemos comentar las líneas:
if antidiagonal in antidiagonales:
continue
De hecho, el resultado no varía. Pero es que tampoco lo hace si quitamos la condición de las diagonales. Y aún más "sorprendente" es que tampoco varía si quitamos la condición de que no pueda haber dos matrices con alguna fila común.
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| Imagen extraída de https://www.youtube.com/watch?v=aumxFs2DO5o |
Pero eso no lo explica el algoritmo, sino que lo hacen las Matemáticas. La columna con menos combinaciones es la tercera, dado que hay una casilla negra a la que no hay que asignarle un número. Como en dicha columna podemos poner números en orden ascendente desde el 31 al 45 incluidos y sin poder repetirlos, tenemos el número combinatorio 15C4 que da 1365. Por tanto, tenemos una cota superior del número de soluciones al problema dado que podríamos tener cartones/matrices dentro de esas combinaciones con filas, diagonales o antidiagonales en común.
Lo que pasa es que la solución al problema es exactamente 1365. ¿Por qué la restricción de la tercera columna es la más restrictiva sobre las condiciones de filas, diagonal y antidiagonal? Es decir, ¿por qué podemos asegurar que para cada una de las 1365 combinaciones para la tercera columna podemos rellenar un cartón completo que no comparta alguna fila, diagonal ni antidiagonal con el resto de cartones?
La justificación no me parece tan fácil como podría pensarse en un principio. ¿Cuál es tu justificación?
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