Sobre conjeturas

conjetura.

(Del lat. coniectūra).

1. f. Juicio que se forma de las cosas o acaecimientos por indicios y observaciones.

Diccionario de la Real Academia Española

Las matemáticas no se construyen únicamente a base de lemas, proposiciones, teoremas y corolarios. En definitiva, las matemáticas no son únicamente certezas y respuestas sino también (y sobre todo me atrevería a decir) son preguntas a las que buscar una respuesta.

La historia está llena de preguntas de las que no se conocían la respuesta y su búsqueda es lo que hizo que las matemáticas avanzaran. Por ejemplo, hubo un tiempo en el que no se sabía si había finitos o infinitos números primos. Esa era una pregunta de la que no se conocía la respuesta. Unos podían tener la creencia de que hay finitos números primos y otros podían tener la creencia de que los números primos no se acaban nunca. Esto es lo que en matemáticas habitualmente se denominan conjeturas, enunciados que no sabemos si son verdaderos o falsos en el sistema axiomático y las reglas convenidas por la comunidad en cada momento. Una vez que se demuestra que el enunciado es verdadero o falso, entonces deja de ser una conjetura y tenemos un resultado que pasa a formar parte del conjunto de "cosas" de las que tenemos certeza dentro del sistema establecido.

Desde el punto de vista educativo, enseñar matemáticas exclusivamente como un conjunto de certezas es, además de un tremendo error didáctico, mostrar una visión gravemente sesgada de las matemáticas. De esa manera, no sólo damos a los alumnos respuestas a preguntas que no se han planteado, sino que además no les enseñamos una de las partes fundamentales del razonamiento matemático, hacer conjeturas e investigarlas.

Y lo anterior también provoca que exista, de manera muy extendida, en la sociedad una visión de las matemáticas como algo muerto y cerrado en lo que ya está todo hecho. Preguntad a cualquier persona que se dedique a investigar matemáticas si su trabajo consiste en moverse entre certezas. Preguntadle también cuántas veces le han preguntado eso de "y en matemáticas, ¿qué investigáis? ¿no está ya todo hecho?".

Y es que no hace falta remontarse a la historia antigua para encontrar preguntas de las que no se conocía su respuesta. Hoy tenemos muchísimas preguntas de las que no conocemos su respuesta. Y algunas de ellas hasta son de enunciado tan sencillo que cualquiera puede entender la pregunta, sin necesidad de tener conocimientos avanzados.

¿Todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos? (Conjetura de Goldbach)

Construimos una sucesión de enteros positivos de la siguiente manera:

                 { A(n)/2           si A(n) es par

A(n+1) =  {

                 { 3·A(n)+1      si A(n) es impar

¿Acaba siempre dicha sucesión repitiendo la secuencia (1, 4, 2), independientemente del entero positivo por el que empecemos? (Conjetura de Collatz)