Un matemago, una resta y un billete de euros (solución)

En esta entrada voy a explicar y justificar el funcionamiento de los matetrucos que conté en Un matemago, una resta y un billete de euros.

Primer matetruco: la resta.

Explicación: ¿Cómo adivina el matemago la cifra que no le hemos dicho?

Porque el resultado de la resta de dos números construidos de la forma indicada siempre es un múltiplo de 9. El matemago va sumando las cifras que le vamos diciendo del resultado.

Cogiendo el mismo ejemplo de la entrada anteriormente enlazada:

Del número 287001 le digo al matemago 1, 0, 8, 0 y 2. El matemago suma todas esas cifras 1+0=1; 1+8=9; 9+0=9; 9+2=11.

Una vez obtenido el resultado de esa suma de cifras, el matemago sólo tiene que encontrar qué número hay que sumarle para obtener el siguiente múltiplo de 9.

El resultado de sumar las cifras que han dicho es 11. El siguiente múltiplo de 9 es 18, por lo que la cifra que falta es 18-11=7.

Justificación matemática: ¿Por qué el resultado siempre es un múltiplo de 9?

Sabemos que si se cumple la igualdad A-B=C, también debe cumplirse la igualdad módulo 9. O dicho de otra manera más sencilla, la resta debe pasar la prueba del 9. Los restos de las divisiones de A y de B entre 9 coinciden porque contienen las mismas cifras (permutadas), por lo que la división del resultado entre 9 debe ser exacta (resto 0). O lo que es lo mismo, el resultado de la resta debe ser múltiplo de 9.

Una pregunta:

¿Por qué el matemago pide que la cifra escogida no sea un 0? Pensadlo un poquito y veréis que esa condición (u otra equivalente) es necesaria. La explicación es sencilla.

Aplicar una propiedad para hacer el cálculo más sencillo:

Cuando el matemago va sumando las cifras que le decimos en realidad no está interesado en el resultado de la suma en sí, sino en el resto de dividir entre 9, por lo que puede utilizar la propiedad de ir aplicando equivalencias módulo 9. Explicado de una manera sencilla, cada vez que se suma una cifra y el resultado es mayor o igual que 9 podemos restar 9 y así trabajar con números más pequeños.

En el ejemplo anterior, aunque es sencillo y no haría falta, se aplicaría la propiedad de la siguiente manera:

1+0=1; 1+8=9; 9-9=0; 0+0=0; 0+2=2. El siguiente múltiplo de 9 es 9 por lo que la cifra que falta es 9-2=7.

Fernando Blasco es una buena referencia sobre Matemagia

Actualización: el truco anterior y una variante del mismo se encuentran descritos en el apartado 10 del capítulo 1 del libro Matemática Recreativa de Yakov Perelman.

Segundo matetruco: el billete.

Explicación: ¿Cómo adivina el matemago la cifra que no le hemos dicho?

De nuevo el 9 juega un papel fundamental en el proceso, pero esta vez existe un elemento que complica la ejecución del matetruco. El matemago, igual que antes, suma todas las cifras que le decimos (también puede aplicar la propiedad de ir restando 9 cuando lo desee).

Cogiendo el billete utilizado como ejemplo en la entrada enlazada al principio:

Le decimos al matemago X, 7, 4, 2, 9, 9, 0, 4, 8, 2 y 8.

Y va sumando las cifras: 7+4=11; 11-9=2; 2+2=4; (los 9 no hace falta sumarlos porque equivalen a resto 0); (el 0 me deja igual la suma); 4+4=8; 8+8=16; 16-9=7; 7+2=9; 9-9=0; 0+8=8.

El resultado de sumar las cifras (módulo 9) es 8.

Sin embargo, esta vez no buscará necesariamente que el número resultante sea múltiplo de 9 (resto 0) sino que buscará que al sumar las cifras quede (módulo 9) un resto determinado. El matemago conoce una propiedad de los números de serie de los billetes de euro: la última cifra de la serie es un dígito de control que se añade para que el resto de la división del número de serie entre 9 dé un resultado concreto.

¿Cómo sabe el matemago qué resto debe quedar?

Hasta ahora no hemos utilizado la letra del principio de la serie del billete. Esa letra informa del país de fabricación del billete, pero también del resto que debe quedar al dividir el número entre 9.

Se recoge en la siguiente tabla la relación entre letras y restos:

Letra	País	Resto
Z	Bélgica	9
Y	Grecia	1
X	Alemania	2
(W)	(Dinamarca)	(3)
V	España	4
U	Francia	5
T	Irlanda	6
S	Italia	7
(R)	(Luxemburgo)	(8)
(Q)	Sin uso
P	Países Bajos	1
(O)	Sin uso
N	Austria	3
M	Portugal	4
L	Finlandia	5
(K)	(Suecia)	(6)
(J)	(Reino Unido)	(7)
(I)	Sin uso
H	Eslovenia	9
G	Chipre	1
F	Malta	2
E	Eslovaquia	3
D	Estonia	4

Por tanto, una vez obtenido el resultado de la suma de cifras que han dicho, módulo 9, el matemago sólo tiene que encontrar qué número hay que sumarle para obtener el siguiente número que tenga el resto que indica la letra.

Siguiendo con el mismo ejemplo, el matemago obtuvo 8 como resultado del procedimiento de sumar las cifras que le decían. La letra que le dijeron es X, a la que le corresponde un resto 2. Por tanto debe encontrar un número que sumado a 8 le dé el siguiente número con resto 2 al dividir entre 9.

El siguiente número que cumple esa condición es 9+2=11. Por lo que la cifra que no dijeron es 11-8=3.

Entonces, ¿debe el matemago aprenderse la tabla de memoria?

Pues en realidad no es necesario, salvo que quiera recordar también como dato curioso el país de procedencia del billete. Si observáis la tabla veréis que los restos van variando de uno en uno (en orden inverso). Es decir, Si tengo la referencia de que la Z es 9 (yo prefiero pensar en el 9 como 0), la siguiente letra (Y) tiene resto 1, la siguiente (X) tiene resto 2, ... y así sucesivamente (cuando llegamos a 9 reiniciamos a 0).

Otra opción para agilizar la identificación puede ser recordar las letras con resto nulo: Z, Q y H.

¡Cuidado con la Ñ, que lógicamente no está en la lista!

En este caso, dado que el número de serie se construye para que tenga esa propiedad, ya no es necesario justificar matemáticamente nada más.

Para muchos es posible que, en matemagia, la magia desaparezca cuando se explica cómo se hace el truco. Otros sentimos cómo la magia perdura hasta alcanzar su punto más álgido cuando investigando encontramos la justificación de por qué funcionan los trucos.