Blog de Félix Rodríguez Díaz

Jaume Casasnovas Casasnovas. Pionero de Didáctica de las Matemáticas en la UIB.

2010-07-15T22:26:00.000-07:00

Justo es comenzar reconociendo el trabajo de quien dedicó gran parte de sus esfuerzos profesionales y personales a abrir brechas en témpanos de hielo. Pionero es el adjetivo para quien dio los primeros pasos en una actividad e inicia la exploración de nuevas tierras. Es cabal colocar en la vanguardia a quien se hallaba en primera posición, adelantado a los demás. Visionario fue quien poseyó una clara y acertada perspectiva de futuro.

Arduos debates en salas de reunión y charlas amistosas de despacho y pasillo, siempre con argumentos, protagonizó quien defendió a capa y espada lo que podríamos denominar una moderna y actualizada Didáctica de las Matemáticas, a pesar de toparse con algún levantador voluntario de muros imaginarios y otros amantes involuntarios de anteojeras que relegan a segunda o tercera categoría esta disciplina. Eterno amante y apasionado de la docencia, seguramente desde que ya siendo bien joven entraba en el aula de su madre, maestra de profesión.

Unos sentimientos hacia él que por mi parte no pueden ser otros que los de gratitud y afecto. Nunca sabemos qué hubiera pasado si en un momento determinado de nuestras vidas una bifurcación hubiera tomado el otro derrotero, pero supongo que es más que probable que yo no me encontrara donde me encuentro si por él no fuera. Por eso siempre lo consideraré como un padre en el terreno profesional y así se lo demostré con mi trabajo y ayuda y sin lugar a dudas así me sentí correspondido con su apoyo y siempre acertados consejos.

Muchísimos son los recuerdos de momentos compartidos que bombardean en estos momentos mi cabeza, uno de ellos es una frase que me dijo un día haciendo gala de su inseparable sentido del humor, antes de que yo saliera por la puerta de su despacho, que decía algo parecido a lo que sigue: “Las reuniones contigo son aburridas porque siempre estamos de acuerdo en todo.” Y es que siempre trabajábamos sobre los matices de las cuestiones, porque el fondo y las ideas importantes eran comunes.

En la vida se aprenden muchas cosas, una de ellas es que si no eres familiar ni amigo íntimo y no puedes contener la pena y tus lágrimas por su pérdida, eso significa que un trozo de tu corazón siempre pertenecerá a esa persona que de algún modo para ti fue y seguirá siendo especial. Desde aquí quiero transmitir mi más sentido pésame a sus familiares y amigos.

Jaume, descansa en paz.

¿Lo pasaría muy mal Euclides en las aulas de hoy?

2009-12-17T10:06:00.000-08:00

Los azares de la vida han hecho que en una semana hayan surgido, en algún tema de conversación y algún texto que he leído, referencias a Euclides. Innegable es la gran aportación que hizo al mundo de las matemáticas con, entre otras muchas cosas, la organización de resultados geométricos que presentó en su obra Los Elementos.

Según he leído en algunas referencias, incluso ha sido utilizado como manual de estudio de la geometría en las escuelas hasta hace relativamente poco tiempo en países como Inglaterra. Imagino que para los defensores en su día de la denominada Matemática Moderna debió ser un buen referente de organización de la enseñanza, debido a su estructura axiomática.

¿Cuánto habrá contribuido esa obra a enseñar matemáticas empezando por el final, en lugar de reconstruir el camino para llegar a él?

La verdad es que ha pasado bastante tiempo desde la creación de Los Elementos de Euclides y el contraste del panorama educativo del siglo III a.C. con el actual es casi inconmensurable.

Cuentan la historia de un alumno de Euclides que le preguntó a éste en una de sus explicaciones para qué servía aquello que estaba enseñando en ese momento. Entonces Euclides ordenó a uno de sus siervos algo parecido a lo que sigue: "Dale una moneda, ya que quiere sacar provecho de todo lo que aprende". También se dice que después el alumno fue invitado a cerrar la puerta de la clase, desde fuera.

Me pregunto si lo pasaría mal Euclides con esa actitud en nuestras aulas. Si Euclides hubiera ordenado a su siervo: "Dale una moneda como recompensa, ya que he cometido el error de empezar a enseñar una cosa sin contar antes para qué sirve.", ¡qué maravillosa hubiera sido la historia!

La ciencia española no necesita tijeras.

2009-10-07T11:17:00.000-07:00

Competencias básicas: competencia matemática

2009-09-24T23:59:00.000-07:00

Publicado originalmente el 8 de junio de 2009 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace aproximadamente un año que la Conselleria d'Educació del Govern de les Illes Balears organizó unas jornadas para los equipos directivos de los centros educativos con el objetivo de iniciar el trabajo de este nuevo elemento que se introduce en los currículos: las competencias básicas.

Después de esto, algunos centros pidieron explícitamente recibir orientaciones para desarrollar en sus alumnos la competencia matemática. El documento que presento a continuación es una síntesis de las ideas principales que he intentado transmitir en aquellos centros donde he hablado sobre este tema.

Rodriguez (2009) - Competencias basicas: Competencia matematica

Espero que pueda servir a los docentes interesados y, como es habitual, os animo a que dejéis por aquí vuestras opiniones, comentarios, sugerencias...

Si uno no quiere entender, no entenderá.

2009-09-24T23:51:00.000-07:00

Publicado originalmente el 25 de mayo de 2009 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy he encontrado este vídeo y lo he encontrado divertido.

¿Para multiplicar basta la tabla del 2?

2009-09-17T01:42:00.000-07:00

La multiplicación 25x12 denota una forma abreviada de decir que tenemos 25 sumandos iguales al valor 12. El aprendizaje memorístico de las tablas de multiplicar del 0 al 9 nos permite, mediante el algoritmo que conocemos, realizar de manera rápida dicha suma de sumandos iguales.

	2	5
x	1	2
	5	0
2	5
3	0	0

¿Se puede realizar dicha multiplicación (y cualquier otra) sabiéndose sólo la tabla del 2? La respuesta es sí. Haciendo dobles, mitades y sumas podemos hallar el resultado de cualquier multiplicación.

Hacemos una tabla y en la primera fila ponemos los dos números. En una de las columnas haremos el doble del número situado en la fila anterior y en la otra columna la mitad (el cociente entero de dividir entre 2) hasta llegar a 1.

25	12
50	6
100	3
200	1

Una vez hecho esto, basta sumar de la columna de los dobles aquellos números cuya columna adjunta (de las mitades) contiene un número impar.

En el ejemplo de 25x12, los impares de la columna de las mitades son 3 y 1. Luego debemos sumar los correspondientes números de la misma fila, pero en la columna de los dobles: 100 y 200.

100 + 200 = 300

Otro ejemplo:
325x147=

325	147
650	73
1300	36
2600	18
5200	9
10400	4
20800	2
41600	1

325x147=41600+5200+650+325=47775

He explicado un poco el funcionamiento del algoritmo pero lo realmente interesante es descubrir por qué funciona. Tampoco entro a valorar las ventajas de un algoritmo respecto al otro, ni otras cuestiones interesantes como por ejemplo, dada la propiedad conmutativa de la multiplicación, qué factor conviene escoger para hacer las mitades.

Antes que la solución está el problema

2009-04-24T10:55:00.001-07:00

Publicado originalmente el 24 de abril de 2009 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Es un tema muy antiguo en la didáctica de la matemática, pero parece que aún debemos ir recordándolo. Hoy he encontrado el siguiente vídeo de un fragmento de una comunicación que hizo el Dr. Adrián Paenza, autor de muchos libros de divulgación de las matemáticas, como por ejemplo el Best Seller “Matemática, ¿Estás ahí?“. [“Episodio 2″, “Episodio 3,14″i “Episodio 100″]
Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=p9mg0pwixyQ

El prólogo de su último libro de la colección “Matemática, ¿estás ahí?” se titula "Miedo a la matemática" y recomiendo su lectura porque es una invitación a la reflexión, con una dosis de ironía. Lo podéis consultar en el enlace del libro correspondiente o en el siguiente:
http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-109931-2008-08-19.html

Libros de matemáticas (II)

2009-04-24T10:50:00.000-07:00

Publicado originalmente el 1 de abril de 2009 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unas semanas encontré esta web: www.elibros.cl
En la categoría de Matemáticas podemos encontrar muchos libros, destacando la famosa colección de librillos de la editorial MIR. El inconveniente es el método de descarga, mediante Rapidshare, que aunque es gratuita posee un número limitado de descargas por tiempo. Paciencia.

¡Qué suerte poder ahorrar 3000€!

2009-04-24T10:44:00.000-07:00

Publicado originalmente el 31 de marzo de 2009 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Adjunto la siguiente noticia de la agencia EFE, publicada hoy (31-03-09) por Yahoo:
http://es.biz.yahoo.com/31032009/185/madrilenos-baleares-catalanes-ahorraran-3-000-euros-caida-euribor.html - Enlace caído-
He llegado a esta noticia a través del enlace que ha publicado Yahoo en su web principal que dice exactamente:
¿Cómo ahorrar 3.000 euros?
Respuesta: Tienes que ser madrileño, catalán o balear y tener una hipoteca » Y los demás ¿qué hacemos?

Pienso que se podría comentar mucho al respecto.

Las TIC en la enseñanza de las matemáticas

2009-04-24T10:36:00.000-07:00

Publicado originalmente el 27 de marzo de 2009 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Por fin ayer encontré un vídeo que me mostraron en el pasado XII CEAM. Es un vídeo portugués que invita a la reflexión de la utilización de las TIC para la enseñanza de las matemáticas (o de cualquier otra área). Siempre he defendido que las TIC son un recurso más y que como cualquier recurso no es bueno o mal por sí mismo, sino que es lo que se hace con el recurso (la metodología) lo que determina una buena o mala práctica docente. No se debe entender mal: no es ningún argumento a favor de no utilizar las TIC, sino a favor de utilizar correctamente las TIC para favorecer un buen aprendizaje.
Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=xLRt0mvvpBk
Espero que os guste.

Más matemáticas viendo el telediario

2009-02-09T01:31:00.000-08:00

Esta vez centramos la atención en las noticias de los telediarios para encontrar posibles actividades para llevar al aula.

En ocasiones los docentes nos estrujamos los sesos para encontrar actividades ricas y en un contexto cotidiano y útil. A veces esas actividades están más cerca de lo que pensamos.

Noticia 1. Pantanos (casi) llenos [ámbito estatal - geografía, biología, educación medioambiental]: (ojo porque hay un par de detalles muy interesantes)

Noticia 2. La gasolina no baja [ámbito estatal - consumo]:

Más matemáticas leyendo el periódico

2009-02-07T14:26:00.000-08:00

Publicado originalmente el 14 de noviembre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Buscar matemáticas en la vida cotidiana es tan fácil como abrir cualquier periódico. Hoy he conseguido sacar 5 minutos para leer el periódico gratuito Qué!

Primera noticia interesante (ámbito isleño - gastronomía autóctona):

Una ensaimada de 12 metros de diámetro mide 130 metros cuadrados. ¿Estáis de acuerdo? ¿Como lo podríamos medir?...

Segunda noticia (ámbito mundial - geografía, demografía y política internacional):

¿Qué es la renta per cápita? ¿Cómo se calcula? ¿Coincide con los valores de la noticia? ¿Por qué?

Tercera noticia (ámbito europeo - educación para la salud):

¿Cuántos minutos de media dormimos los europeos? ¿Cuántos minutos dormimos los españoles menos de lo que nos recomiendan?...

Y en el mismo periódico (de ese día) podemos encontrar muchas otras noticias con porcentajes, estadísticas...

Como ya he dicho en otras ocasiones, tenemos toda una fuente de posibles actividades en los medios de comunicación y tenemos que sacarle provecho para nuestras clases. Además, entiendo que es nuestra obligación enseñar a los ciudadanos a interpretar este tipo de información y a sacar conclusiones con criterios fundamentados.

Las "Nuevas Tecnologías"

2009-02-03T07:35:00.000-08:00

Publicado originalmente el 31 de octubre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Me han enviado el siguiente vídeo y a mi me hecho bastante gracia. Espero que a los que no lo conozcáis también os guste.

La innovación educativa

2009-02-03T07:14:00.000-08:00

Publicado originalmente el 21 de octubre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

En ocasiones las analogías sirven muy bien para hacer entender una cosa (aunque siempre corremos el peligro de no coger el ejemplo más adecuado).

Pongamos por ejemplo el trabajo de un médico. A este médico un día se le ocurre dar paracetamol a todos sus pacientes porque, según su experiencia, cree que es el mejor medicamento. Y lo prueba, y ve que hay pacientes que mejoran y otros que no lo hacen con el paracetamol. Así que pasado un tiempo decide que seguirá dando paracetamol en aquellas enfermedades en las que ha ido bien y probar con ibuprofeno en aquellos casos en los que el paracetamol no ha funcionado. Y pasado un tiempo piensa que dando a todos sólo ibuprofeno puede ir mejor que el paracetamol. Y tras probarlo y ver sus efectos decide dar a todos los pacientes una combinación de paracetamol con ibuprofeno, para ver cómo evolucionan.

¿Qué pensaríais de la profesionalidad de este médico? No se vosotros, pero yo no me querría poner en sus manos. ¿Se puede decir que éste es un médico innovador? Si nos fijamos en el significado estricto de la palabra innovar (alterar algo, introduciendo novedades), pues sí. Pero la innovación no puede ser cualquier cosa. El médico debe innovar a partir de lo que ya se sabe en su campo de conocimiento, la medicina. Y en aquellas enfermedades que aún no están suficientemente investigadas o no existen resultados claros, entonces se deja un margen de innovación (que cumpla ciertas condiciones). Y siempre se debe distinguir lo que es innovación de lo que es investigación.

Espero que todo el mundo lo vea claro, porque ahora es cuando dejo de hacer la analogía (o comienzo a hacerlo, según se mire).
Hace poco pregunté a una ponente que explicaba una experiencia piloto con los nuevos planes de estudios de una universidad española, cómo se coordinaba/dirigía/supervisaba/incentivaba/... el cambio metodológico que supone la filosofía del nuevo Espacio de Educación Europeo Superior. Y la respuesta, resumiendo mucho, es que dejaban a cada profesor que hiciera lo que quisiera/supiera en clase y después ellos mismo iban modificando su metodología en función de los resultados obtenidos (y algunos interesados lo compartían con otros compañeros). Esto me recuerda mucho al ejemplo del médico. No se puede hacer "innovación" (entendida aquí en un sentido amplio de la palabra) obviando lo que se sabe en su campo de conocimiento, en este caso la didáctica específica de aquello que se enseña.

Así pues, debemos formar al médico primero enseñándole la medicina y después fomentando la innovación con condiciones de calidad. Y no tiene ningún sentido que cuando el médico innove lo haga sin una fundamentación en la medicina.
Así pues, debemos formar al profesor primero enseñándole a enseñar y después fomentando la innovación con condiciones de calidad. Y no tiene ningún sentido que cuando el profesor innove lo haga sin una fundamentación en la didáctica específica.

Mi conclusión es que la enseñanza no se puede dejar a la arbitrariedad, hay una ciencia detrás que no podemos obviar. En caso contrario siempre partimos desde cero y los perjudicados son nuestros alumnos.

Días muy tristes

2009-01-28T04:14:00.000-08:00

Éstos son días muy tristes. Hoy me han comunicado que una ex-alumna de magisterio, Virginia Urbano Enseñat, falleció el lunes.

Siento que hoy también ha muerto una parte de mi. Y es que los que sentimos fuertemente la vocación docente creamos un vínculo sentimental con nuestros alumnos. Ese vínculo podrá ser más fuerte o más débil en función de las afinidades con el alumno y, en muchas ocasiones, puede no ser un vínculo bidireccional o correspondido. Pero eso no le importa al verdadero docente porque tiene la convicción de que algo suyo ha quedado en la cabeza y en la forma de actuar de sus alumnos. Esa es la gran magia de ser maestro o profesor. Y en el caso de la formación de futuros docentes las repercusiones de esa impregnación puede llegar a muchas otras personas, los futuros alumnos a los que impartirá clase.

El lunes el colectivo docente perdió una gran maestra y el mundo una gran persona. De eso no me cabe ninguna duda y los que te conocimos no podemos sino llorar tu pérdida.
Deseo Virginia que seas feliz allà dónde hayas ido…

El contraejemplo monstruoso

2009-01-22T23:09:00.000-08:00

Publicado originalmente el 29 de septiembre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy, leyendo artículos para mi tesis doctoral he encontrado lo que denominan un contraejemplo monstruoso (Monstrous Counterexample). Su objetivo es mostrar que aunque comprobemos que una propiedad se cumple en una cantidad muy grande de casos o hasta un número muy elevado, esto no implica que la propiedad sea cierta. Cito textualmente (traducido):

Considera la siguiente sentencia: La expresión 1+1141n² (donde n es un número natural) no da nunca un cuadrado perfecto.

La gente ha utilizado ordenadores para comprobar esta expresión y han encontrado que no da un cuadrado perfecto para ningún número natural desde 1 hasta 30.693.385.322.765.657.197.397.207

¡¡¡Pero da un cuadrado perfecto para el siguiente número natural!!!

Extraído del artículo “Enhancing undergraduate students’ understanding of proof” que presentaron este año G.J. Stylianides y A.J. Stylianides en la “11th Conference on Research in Undergraduates Mathematics Education”. [adaptación de un ejemplo del artículo “Are there coincidences in mathematics?” de P.J.Davis (1981)]

Una televisión de profesores.

2009-01-22T23:03:00.000-08:00

Publicado originalmente el 15 de septiembre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

El otro día buceando por Internet llegué a una página llamada Teachers TV. Se trata de un portal lleno de vídeos de experiencias de aula en el que podemos encontrar más de una propuesta interesante.

Como hay vídeos de todas las asignaturas, si nos interesa podemos filtrarlos por materias: vídeos de Matemáticas.

Podéis ver, por ejemplo, este vídeo de una clase de primaria. O estos otros (vídeo 2 , vídeo 3) sobre la utilización de Software de Geometría Dinámica en las aulas de secundaria.

Dos cosas: primero que está todo en inglés y segundo que se pueden ver todos los vídeos en la web sin tener que registrarse (pero si queremos descargar algún vídeo sí que nos tendremos que registrar como usuarios, también gratuitamente).

A ver cuándo llegan por estas tierras iniciativas de este tipo...

Probabilidad jugando a la PS2

2009-01-22T08:03:00.000-08:00

Publicado originalmente el 13 de agosto de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

El domingo pasado nos invitaron a la casa de campo de una amiga y, después del obligatorio baño en la piscina y de haber comido, jugamos un rato al Buzz. El juego viene con 4 mandos pero mi amiga, que ya previó que querríamos jugar más personas, trajo otros 4 mandos más ya que el juego permite jugar hasta 8 personas al mismo tiempo.

Para quien no lo conozca, el videojuego simula el típico concurso de televisión en el que van haciendo preguntas y el concursante que crea conocer la respuesta aprieta el pulsador y responde. Hay diferentes tipos de pruebas, unas restan puntos si te equivocas en la respuesta y otras no.

El caso es que en la mayoría de pruebas lanzan una pregunta y te dan 4 posibles respuestas (sólo una correcta, claro) que se corresponden con los cuatro botones de colores que tiene el mando. En algunas pruebas gana la pregunta el primero que la responde correctamente. Y aquí entra el cálculo de probabilidades. Modelizaremos la situación pensando que todos los concursantes tienen un nivel de conocimientos parecido, leen la pregunta al mismo tiempo y tienen reflejos similares. Si juegan 4 personas podríamos decir que cada uno tiene un 25% de probabilidad de acertar la pregunta. Pero si juegan 8 personas en igualdad de condiciones a cada uno le corresponde una probabilidad del 12,5% (tiene que leer la pregunta, leer las respuestas, conocer cuál es la correcta y ser el primero en pulsar el botón correspondiente). Por tanto, si cambiamos la estrategia y lo que hacemos es en cuanto sale la pregunta, sin leerla ni nada, pulsamos uno de los cuatro botones. Como hay una respuesta válida de 4 posibles tendremos una probabilidad del 25% de acertar la pregunta.

Entonces podríamos decir que (jugando con 8 mandos) un mono que apretase los botones al azar tendría más probabilidad de acertar la pregunta que una persona que quiere saber qué le han preguntado e intenta escoger la respuesta que piensa que es correcta. Lo que pasa es que el resto de jugadores se cansan de que aciertes respuestas sin haber dado tiempo a leer nada y todos acaban haciendo lo mismo (de mono)... y así vuelves a tu 12'5% y además nadie se entera de las preguntas del concurso.

La situación se puede complicar todo lo que queramos porque hay diferentes tipos de pruebas y esta estrategia no es tan buena en todas ellas. Por ejemplo hay una prueba en la que se va reduciendo el número de jugadores, otras en las que las respuestas incorrectas restan puntos... Todo un entretenimiento matemático.

¡Ah, por cierto! El videojuego también es entretenido

Del agua de Marte a Freudenthal

2009-01-19T09:31:00.000-08:00

Publicado originalmente el 4 de agosto de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace una semana todos los medios de comunicación se hicieron eco de una noticia que lanzaba la NASA coincidiendo con su 50 aniversario: hay pruebas para afirmar que existe agua en Marte. Y, como cada vez que hay novedades de estas características, surge la eterna pregunta: ¿hay vida fuera de nuestro planeta?

Parece que lo más probable es que se demuestre la existencia de microorganismos incluso en lugares donde las condiciones no son demasiado favorables. Pero, ¿encontraremos algún día un tipo de vida más evolucionada? ¿Incluso inteligente? Una de las vías que se está utilizando para encontrar vida extraterrestre inteligente es filtrar el ruido del espacio buscando en determinadas frecuencias emisiones artificiales (parecidas a las que emitimos nosotros de radio o televisión). Los criterios para cribar los que es un candidato a emisión de una vida extraterrestre encuentro que son muy interesantes (uno de ellos es que haya cierta regularidad).

Y si encontramos vida extraterrestre inteligente (o nos encuentran ellos a nosotros) y se establece un contacto, ¿cómo nos podremos comunicar con ellos? Pues esta fue una de las cuestiones en las que trabajó el matemático Hans Freudenthal hace unas décadas. Sí, el mismo Hans Freudenthal del que os he hablado alguna vez, aquel matemático de la escuela holandesa que se dedicó a la didáctica de las matemáticas y desarrolló la filosofía realista de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y el análisis fenomenológico.

Freudenthal creó un lenguaje denominado LINCOS basado en las matemáticas (¿por eso dicen que las matemáticas son el lenguaje universal?) No sé si recordáis la película Contact [wikipedia] (basada en una novela de Carl Sagan) en la que detectan un mensaje proveniente del espacio. Pues el mensaje que captan está en una variante del lenguaje LINCOS de Hans Freudenthal.

Extraterrestes/vándalos matemáticos.

2009-01-15T23:42:00.000-08:00

Publicado originalmente el 3 de julio de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy he encontrado visitando la web “Planeta Matemático” la siguiente noticia que apareció en elperiodico.com. Se trata de los típicos círculos que aparecen en los cultivos de un día para otro. Hay muchas teorías sobre su origen (la menos fantasiosa es que se trata de vándalos o de los propios agricultores que quieren hacerse publicidad). Esta ocasión el dibujo ha llamado la atención porque han descifrado que se encuentra el número PI dentro del mensaje de los círuclos. Curioso, ¿no?

Tomás y Tomenos

2009-01-15T23:33:00.000-08:00

Publicado originalmente el 23 de mayo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy he ido a buscar la penúltima entrega (creo) de la colección "Desafíos Matemáticos". Tengo un montón de trabajo pero nunca me puedo resistir a abrir el libro por alguna página y echarles un vistazo.

Uno de ellos se titula "Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas” del autor Martin Gardner, conocido sin duda por los amantes de la denominada matemática recreativa. He visto que uno de sus capítulos trata sobre los números negativos, de los que ya hemos hablado por aquí en alguna ocasión (por ejemplo). Me ha parecido un capítulo interesante y recomendable. Cito textualmente tres cosas:

El capítulo comienza con un fragmento de la obra “A tale of Star-Crossed Lovers” d’Irving E. Fang:

“Mucho se nos parecen los de Negatierra.
Prefieren sus estudiantes las notas negativas.
Y trinan y protestan si sacan más de cero.
Nadie es Tomás (aunque sí Tomenos); y en esas tierras,
para el bolsillo es mascabo
ir de tiendas o comprar en el mercado.”

Después recoge una rima escolar citada por el autor W. H. Auden que dice:
“Menos por menos da más;
sin discusión así lo aceptarás.”

Y, finalmente, un chiste de esos tan malos que contamos los matemáticos:

“Esto era un individuo con una personalidad tan negativa que, cuando asistía a una fiesta, los invitados, mirando perplejos en torno a sí, preguntaban: ¿Quién se ha ido?”

Ya os digo, un capítulo interesante donde, además de lo que os he contado, nos habla de vacas negativas y vacas fantasmas... y de situaciones con negativos que cuando queremos contextualizarlas muchas veces no hacemos más que disparates.

Discalculia - La dislexia matemática

2009-01-15T23:23:00.000-08:00

Publicado originalmente el 14 de mayo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos días oí hablar por primera vez de un termino denominado "discalculia". Para entendernos podríamos decir que es un trastorno parecido a la dislexia (en ocasiones asociado a ésta) que dificulta el aprendizaje de las matemáticas. Los estudios realizados hasta ahora afirman que aproximadamente entre un 3 y un 6 porciento de la población infantil padece este trastorno.

Lo he encontrado suficientemente interesante como para realizar una pequeña búsqueda de información en Internet y darlo a conocer en este blog, por si tampoco habíais oído hablar de él. Podéis, por ejemplo, consultar las siguientes entradas de la wikipedia (”discalculia” ES, “dyscalculia” EN). También he encontrado que, en la Universidad de Barcelona, Josep M. Serra Grabulosa, del Departamento de Psiquiatría y Psicobiología Clínica, investiga sobre este tema y tiene abierta una web en la que se ofrece información sobre este trastorno.

La duda que me surje es si los profesionales de los Departamentos de Orientación de los centros educativos están al corriente de este trastorno y, en caso afirmativo, si lo intentan detectar para tratarlo convenientemente, como se hace por ejemplo con la dislexia. Lo digo desde el más absoluto desconocimiento porque nunca me he encontrado con la situación de que en una reunión de equipo docente o de tutores se haya dicho que un alumno tiene discalculia (como sí he oído hablar de otros tipos de trastornos).

Videojuegos educativos (II)

2009-01-15T23:14:00.000-08:00

Publicado originalmente el 7 de mayo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos meses escribí una entrada en el blog hablando de los videojuegos educativos. Comenté que encuentro muy positivo que saquen juegos educativos que fomenten el gusto por las matemáticas y deseaba que sacasen más juegos de este tipo. Pues parece que este deseo no ha tardado demasiado en cumplirse. De tipo general podemos encontrar “Brain Assist“, “Mind Quiz. Your Brain Coach” y “Brain Logic” (també conegut com “Dr Reiner Knizias Brainbenders” o “Brain Voyage“) que incluyen diversas pruebas con números y lógica; y específico de matemáticas encontramos afortunadamente un nuevo juego: “Maths Play : Have Fun with Numbers”, en el que podemos encontrar diversas pruebas donde tendremos que trabajar con igualdades aritméticas (p.ej. 8 : 4 + 5 = 9 - 4 : 2).

He visto que en la web oficial de Nintendo España aún no incluyen ninguno de estos juegos. No sé si ya están en los establecimientos comerciales, pero espero que la politica de esta filial sea comercializar todos estos juegos lo antes posible.

¿Manipulación publicitaria?

2009-01-15T09:27:00.000-08:00

Publicado originalmente el 28 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Esta ocasión os hablaré de un anuncio que están emitiendo actualmente por la televisión. Se trata de un anuncio de Movistar en el que quieren remarcar que las llamadas entre usuarios de un mismo operador telefónico salen más baratas. Según ellos, si eres de Movistar, como hay más gente, puedes llamar a mejor precio a más gente. No quiero entrar a valorar esta premisa aunque creo que puede ser interesante.

Lo que me llamó la atención fue la siguiente imagen:
Se supone que estas pirámides las han formado con tantos móviles como clientes tiene cada operador telefónico. Por tanto, si consideramos que 1 móvil es nuestra unidad, el volumen de las pirámides es igual al número de clientes. Y ahora es cuando las cosas no me cuadran.

De hecho, sin saber mucho de matemáticas uno puede percibir claramente que en la pirámide azul (22,8) hay muchos más móviles que el doble de los que hay en la pirámide naranja (11).

Si miramos la imagen podemos decir que las pirámides cuadrangulares son semejantes (misma forma, aunque no tengan la misma medida). Sabemos que los poliedros semejantes, donde sus lados están en razón k, tienen un volumen en razón k³.

El error de la compañía Movistar (digo error para no presuponer intención de manipular la representación de la información) es pensar que el número de clientes (volumen) viene determinado sólo por las alturas de las pirámides (guardando una razón k, igual que los lados).

Pensando sobre esto me ha invadido un torrente de ideas para realizar actividades en clase a partir de este anuncio. La verdad es que ahora no tengo tiempo para dedicarme a escribirlas. Pero si pensáis un poco os saldrán enseguida: razón, proporcionalidad, semejanza, cuerpos geométricos, volúmenes, representación de la información, medida, gráficos, estimación y errores...

Por poner muy brevemente algunos ejemplos (y muy desordenados). Podemos imprimir la imagen y que los alumnos midan el lado de la base y la altura de las pirámides sobre el papel (o no imprimir y contar píxeles con algún programa de dibujo). Con esto ya estamos trabajando la medida y la estimación. Después podemos pedir que calculen el volumen de la pirámide. Podemos pedir a qué escala están representadas las pirámides (tenemos el dato del volumen real). Con esto trabajamos volúmenes y escalas. Una vez tenemos todos los datos podemos organizarlos con una tabla y estudiar las razones de proporcionalidad de los datos experimentales y los datos reales. Podríamos trabajar con el error de las estimaciones. Y sigue la lista de posibilidades.

Además saldrían cuestiones para investigar: por ejemplo que los datos de clientes que nos dan no se corresponden con los volúmenes reales. Podemos pedir entonces que representen correctamente los datos con pirámides y compararlas con las del anuncio. ¿Y si hiciéramos todas las pirámides con la misma base? ¿Y si en lugar de pirámides utilizamos prismas (conos, esferas, ...)? O también podríamos medir un móvil y calcular qué altura real tendrían estas pirámides. Y analizar si la representación de la imagen se ajusta a estos datos (tenemos la referencia del hombre)...

Si alguien se anima a preparar unas actividades y las quiere compartir estaremos todos encantados.

PD: Otra cosa que puede llamar la atención es que sólo entre estos 3 operadores tienen más clientes que habitantes tiene el país.

¿Por qué salen dos resultados distintos?

2009-01-15T09:12:00.000-08:00

Publicado originalmente el 26 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Podemos poner el siguiente problema para reflexionar sobre las integrales (por ejemplo en segundo de Bachillerato):

Queremos encontrar la primitiva de la función Tg(x)·sec²(x)

Por una parte, haciendo el cambio de variable u=Tg(X) tenemos (click para ver imagen):

Por otra parte, si hacemos primero unas transformaciones trigonométricas y después el cambio u=cos(x) tenemos (click para ver imagen):

¿Cómo puede ser que la misma integral dé resultados distintos?

Blogfesores

2009-01-07T01:05:00.000-08:00

Publicado originalmente el 13 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos meses descubrí una web denominada "blogfesores". Como su nombre indica se trata de una recopilación de enlaces a blogs educativos. Para hacernos una idea podemos consultar su manifiesto "Soy un Blogfesor". Es muy útil el directorio agrupado por categorías donde podemos ir a los blogfesores de matemáticas. Os recomiendo que le echéis un vistazo porque podréis encontrar cosas muy interesantes.

El paro ha subido y ha bajado

2009-01-03T00:01:00.000-08:00

Publicado originalmente el 5 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Llevamos ya unos meses de agotadora campaña electoral donde cada partido dice la suya (a pesar de que los medios sólo den difusión a dos de los partidos). Este domingo iremos a votar (los que queramos) y decidiremos democráticamente qué partido tendrá la mayoría suficiente para gobernar el país. Ya analizaremos matemáticamente los resultados porque siempre es una actividad que encuentro muy oportuna y positiva (y ya volveremos a hablar de la ley de Hondt).

Pero en esta ocasión no quiero hablar del sistema electoral sino de un hecho que he constatado durante esta campaña. ¡El paro ha bajado y también ha subido! Ahora es el momento en que decimos que cómo es posible una cosa y la contraria. No quiero realizar ninguna consideración política ya que cada uno tiene su opinión, pero si que quiero analizar lo más objetivamente posible estas afirmaciones de los dos grandes partidos políticos.

En los debates hemos visto como el Sr. Rajoy sacaba un gráfico (de líneas) dónde se mostraba cómo el paro había subido los últimos años. Pero en su turno, el Sr. Zapatero sacó otro (de barras) donde se mostraba cómo el paro había bajado en los últimos años. Claro, el ciudadano ve esto en ese momento y no puede sino dudar de la veracidad de alguno de los dos gráficos.

Bueno, pues hay que decir que ambos gráficos eran correctos. Y, ¿cómo puede ser esto posible? Pues porque aunque ambos hablaban del paro, no nos explicaron con claridad que hablaban en términos distintos. El Sr. Rajoy hablaba en términos absolutos, es decir, el gráfico mostraba la evolución del número de personas que hay apuntadas al paro. Y es un hecho que hay más personas apuntadas al paro, respecto a hace cuatro años. Por otra parte, el Sr. Zapatero hablaba en términos relativos, es decir, el gráfico mostraba la evolución del porcentaje del total de la población que está apuntada al paro. Y es un hecho que el porcentaje de personas apuntadas al paro ha bajado en los últimos cuatro años.

Insisto en que no quiero realizar una valoración política. Desde un punto de vista matemático encuentro más acertada la visión en términos relativos. Pondremos un ejemplo extremo. Imaginemos una población de 100 habitantes donde 50 de ellos no trabajan. Supongamos que diez años más tarde la población es de 1000 habitantes de los cuales 51 no trabajan. Creo, y esto ya es una opinión mía, que no sería muy justo criticar a los gobernantes en este caso porque el paro haya subido, teniendo en cuenta el total de habitantes. No obstante, como ciudadanos sí que podemos exigir a nuestros gobernantes (y opositores) que hagan todo lo que tengan que hacer para dar trabajo a estas 51 personas que quieren trabajar y no pueden.

Una cosa muy parecida ocurrió con los gráficos de la inflación, donde el Sr. Rajoy hablaba de la inflación puntual y el Sr. Zapatero hablaba de la inflación media.

Creo que el ciudadano debe tener una suficiente alfabetización matemática para, al menos, entender la información que le llega para después decidir qué criterio quiere seguir.

¿Se puede pesar un porcentaje?

2008-11-26T01:52:00.000-08:00

Publicado originalmente el 23 de febrero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos meses vi un anuncio en la TV de una marca de chocolate y el otro día volví a verlo [vídeo] (no lo he encontrado en castellano). Bien, la cuestión es que el cocinero coge cacao y lo pesa en una balanza que mide porcentajes. Creo que puede ser una buena cuestión para plantear a los alumnos: ¿se puede pesar un porcentaje?

Videojuegos educativos

2008-11-24T23:41:00.000-08:00

Publicado originalmente el 20 de febrero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hay un sector dentro del mundo de los juegos para videoconsolas que se cataloga como videojuegos educativos.Últimamente este sector lo lidera indiscutiblemente, por el número de videojuegos que saca para sus consolas, la compañía Nintendo.

Por ejemplo, para la Nintendo DS (algunos también disponibles para la Wii) podemos encontrar los ya famosos Brain Training y su segunda parte Más Brain Training. Estos juegos calculan una especie de cociente intelectual valorando una serie de pruebas y proponen unos ejercicios/juegos para ir mejorando. Tiene pruebas y ejercicios de práctica de tipo matemático (cálculo con operaciones básicas, series numéricas, lógica...). Del mismo estilo podemos encontrar también los juegos Big Brain Academy y Brain Challenge. Del tipo lingüístico podemos encontrar por ejemplo English Training, Mi experto en vocabulario, Mi experto en francés, Mi experto en inglés... Y también tenemos el Training for your eyes para ejercitar las facultades visuales. Por otra parte también hay una serie de juegos tipo Sudoku.

El otro día me sorprendió ver dos nuevos juegos que podríamos catalogar como educativos para Matemáticas: Maths Training y Tangram Mania (éste último en realidad es más un juego catalogado como Puzzle).

¡Bienvenidas sean todas aquellas iniciativas que ayuden a difundir el gusto por las matemáticas! A ver si se animan a sacar más juegos de este estilo.

P.D.: No tengo ningún convenio ni contrato publicitario firmado con Nintendo, pero es la que saca juegos educativos . Si alguien conoce juegos educativos para otra videoconsola que deje su comentario.

Didáctica de las matemáticas en la UCLMTV

2008-11-24T07:27:00.000-08:00

Publicado originalmente el 24 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

La Universidad de Castilla La Mancha (UCLM) tiene un portal interactivo denominado UCLMTV donde cada domingo cuelgan el programa "UCLM al día", emitido en la televisión autonómica.

El 23 de diciembre de 2007 emitieron el programa número 50: “Estudio sobre la Didáctica de las Matemáticas“. Éste es un mini-reportaje de unos cinco minutos en el que se narra muy brevemente una de las propuestas didácticas que están llevando a cabo actualmente en cuatro centros de Primaria de Ciudad Real.

Encuentro muy buena idea realizar reportajes relacionados con cuestiones de la vida universitaria.

¿Navaja o anti-navaja?

2008-11-24T04:13:00.000-08:00

Publicado originalmente el 10 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Si me estuviera refiriendo a la navaja como cuchillo de verdad, la respuesta a la pregunta dependería del uso que le vayamos a dar (si es para cortar pan entonces sí y si es para utilizar como arma pues no). Pero no me estoy refiriendo a ésto.

No sé si es porque los guionistas de Hollywood están en huelga o porque desde siempre se han copiado (digamos que se han inspirado en las ideas) unos a otros, pero el hecho es que a varias series de TV he oído hablar de los que se denomina la navaja de Occam.

Resumiendo mucho podemos decir que la navaja de Occam es una teoría que tiene como máximo principio el siguiente: en igualdad de condiciones la posibilidad más sencilla es la más probable. En la Wikipedia podéis encontrar un artículo muy interesante al respecto.

Como podréis leer es una teoría reduccionista y que tiene sus detractores, algunos de los cuales han formulado lo que se denomina una anti-navaja.

Os pongo un ejemplo de un caso que me ocurrió no hace mucho. Me disponía a ir a la universidad y me subí al coche. Todo normal hasta que, una vez sentado y con la llave en el contacto, cuando intentaba arrancar, el coche hacía el típico ruido de "no quiero arrancar" y no arrancaba. ¿Y ésto por qué?

Teoría 1. El coche tiene aproximadamente cinco años y nunca se ha cambiado la batería, así que se ha gastado y por eso no arranca el coche.

Teoría 2. Intentaba arracar el coche con una llave que creía perdida y que encontré dentro del bolsillo de un abrigo después de casi un año (cuando saqué la ropa de invierno del armario). Como tenía miedo de perder la única llave del coche que me quedaba, encargué otra al concesionario donde compré el coche. Resulta que las llaves de ahora llevan un código magnético y por protección cambiaron el código de la llave que me quedaba y de la nueva, de tal manera que la llave que creía perdida se quedó con un código diferente. Y por eso no arranca el coche.

La teoría más simple es la 1. Según la navaja de Occam es la más probable. Sin embargo, la teoría buena fue la 2. Por lo menos me dí cuenta antes de cambiar la batería del coche (que no me hubiera solucionado nada).

Tanto si a uno le gusta la navaja de Occam como si le gustan más las anti-navajas lo que no hay que hacer nunca es asumir que la posibilidad más probable es la única buena.

Libros de matemáticas en PDF

2008-11-24T00:40:00.000-08:00

Publicado originalmente el 2 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace poco encontré la web de Carlos Ivorra, un profesor de la Universitat de València, donde se puede encontrar una serie de libros de Matemáticas en PDF (enlace). Hay libros sobre distintos temas: Lógica y Teoría de conjuntos, Pruebas de consistencia, Análisis no estándar, Álgebra, Geometría, Análisis, Funciones de variable compleja, Teoría de números, Teoría de cuerpos de clases, Topología algebraica, Geometría algebraica, Curvas elípticas, Álgebra homológica y conmutativa y Teoría de esquemas.

Jo aún no he conseguido tener tiempo suficiente para leer alguno de los libros con detenimiento. Si a alguien le interesa y lo hace nos podría dejar un comentario por aquí y decirnos qué le ha parecido.

¿2008 es divisible por 8?

2008-11-24T00:15:00.000-08:00

Publicado originalmente el 24 de diciembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Es una pregunta muy sencilla. Basta dividir 2008 entre 8 y ver si el resto es 0.

Como 8 es 2 · 2 · 2, otra opción es hacer la mitad de la mitad de la mitad y si siempre da un número natural, entonces el número es divisible por 8 (en ocasiones mentalmente resulta más fácil hacer tres veces la mita que dividir entre 8). Pero ésto sigue siendo dividir el número entre 8 (aunque sea de otra manera).

¿Hay otra manera de saber si un número es divisible por 8? Ésto es lo que se conoce con el nombre de criterio de divisibilidad (en este caso del 8). En todos los libros de texto de Primaria y Secundaria podemos encontrar (sin justificación) los criterios de divisibilidad del 2, del 3, del 5 y del 10 (y con suerte alguno más como el 9 o el 11).

Para aquellos que no lo saben (o no se acuerdan) intentemos descubrir algún criterio de divisibilidad por 8.

Sea X un número que en base decimal escribiríamos de la siguiente forma:

X = a_na_(n-1)…a₃a₂a₁a₀donde cada a_i es un dígito del 0 al 9 (incluidos)

En realidad ésto es una notación que utilizamos para simplificar la expresión:

X = a_n· 10ⁿ+ a_(n-1)· 10^(n-1) + … + a₃· 10³ + a₂· 10² + a₁· 10 + a₀

Recordemos que hemos dicho que un número es divisible por 8 si el resto de la división entre 8 da 0. Por tanto, ésto es equivalente a decir que el número es congruente con 0 (módulo 8). (Nota: A partir de este momento algunas igualdades son congruencias módulo 8.)

Antes de ver la congruencia módulo 8 de nuestro número veamos qué congruencia módulo 8 tienen las potencias de 10:

10 = 2 ( ya que 2 es el resto de la división 10:8 )

10² = 100 = 4 ( ya que 4 es el resto de la división 100:8)

10³ = 1000 = 0 ( ya que 1000 es divisible por 8 )

10^m = 10³ · 10^m-3 = 0 · 10^m-3 = 0 Es decir, toda potencia de 10 mayor que 100 es divisible por 8.

Por tanto, observemos la congruencia módulo 8 de nuestro número:

X = a_n· 10ⁿ+ a_(n-1)· 10^(n-1) + … + a₃· 10³ + a₂· 10² + a₁· 10 + a₀

= a_n· 0+ a_(n-1)· 0 + … + a₃· 0 + a₂· 10² + a₁· 10 + a₀= a₂· 10² + a₁· 10 + a₀

Así pues, hemos deducido que un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras (a₂a₁a₀) es divisible por 8.

De esta forma, el caso de 2008 es muy fácil ya que sólo tenemos que comprobar si 008 = 8 es divisible por 8. También es muy fácil saber si el número 6516874654684765463486800 es divisible por 8 sólo con un vistazo utilizando el criterio de divisibilidad (en este caso yo mentalmente no llego a hacer la mitad de este número)

PD1: El razonamiento seguido para llegar al criterio de divisibilidad del 8 es análogo para criterios de divisibilidad de muchos otros números. Quien quiera puede demostrar los criterios que siempre ha utilizado sin saber por qué y deducir otros que no son tan conocidos.

PD2: Desde mi punto de vista, salvo en la implementación de algoritmos en ordenadores, el objetivo de los criterios de divisibilidad debe ser simplificar un cálculo que queremos realizar. Cuando el criterio se vuelve más complejo que la propia división no tienen ningún sentido utilizarlo (por ejemplo el criterio de divisibilidad por 7).

PD3: También podíamos haber dicho que el criterio de divisibilidad del 8 es comprobar si 4 veces la cifra de las centenas más dos veces la cifra de las decenas más la cifra de las unidades (4 · a₂+ 2 · a₁ + a₀) es divisible por 8, pero se aplica lo que he dicho en PD2.

¿¿Aceptable, aunque mejorable??

2008-11-23T12:50:00.000-08:00

Publicado originalmente el 10 de diciembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace una semana se hicieron públicos los resultados de las pruebas PISA 2006. Respecto a las anteriores pruebas (2003), España ha bajado cinco puntos en el área de Matemáticas (de 485 a 480). Por tanto podemos afirmar que seguimos tan mal como antes. Esto no sorprende si tenemos en cuenta que no hemos cambiado nada de lo que enseñamos ni de cómo lo enseñamos.

Lo que sí sorprende son las declaraciones que hizo la ministra calificando de "aceptables, aunque mejorables" los resultados de Matemáticas. Para mi no hay nada de aceptable en estos resultados que nos sitúan 18 puntos por debajo de la media de los países de la OCDE. Si ésta es la visión que se tiene desde el Ministerio de Educación vamos mal. El primer paso para intentar resolver cualquier problema es reconocer que se tiene un problema y parece ser que aún no se quiere llegar a esta fase.

En cualquier caso, si los resultados en Matemáticas son mejorables, ¿qué medidas adoptará el Ministerio para conseguir esta mejora? No creo que quedarse esperando otra vez los mismos resultados en las siguientes pruebas (2009) sea una buena postura.

La enseñanza de contenidos aislados

2008-11-23T12:35:00.000-08:00

Publicado originalmente el 20 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos días comentaba los borradores de currículos de Matemáticas de Primaria y Secundaria de las Islas Baleares. Uno de mis comentarios fue que era necesario hacer más énfasis en la interconexión de los diferentes bloques de contenidos. Hoy por Internet he encontrado, en la web de la Sociedad Chilena de Educación Matemática, unos enlaces a dos conferencias del Dr. Abraham Arcavi. Una de ellas se titula "Hacia una visión integradora de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas" y tuvo lugar en Santiago de Chile este mes (noviembre de 2007).

En esta conferencia, el Dr. Arcavi cuenta una experiencia que llevó al aula. Propuso el siguiente problema:

El gráfico Cartesiano de las funciones y=ax+1 es una recta que forma un triángulo con los ejes coordenados. Lanzamos un dado común y sustituimos “a” por el valor obtenido. ¿Para qué valor de “a” el triángulo formado es isósceles? ¿Para qué valor de “a” se obtiene el triángulo de menor área? ¿Cuál es la probabilidad de que el área del triángulo formado sea menor que 1/6? ¿Cuál es la probabilidad de que el área del triángulo formado sea mayor que 1/2? (transparencia 6)

El problema me parece muy interesante. Pero me gustaría incidir en la importancia de lo que comentaba sobre la conexión de todos los bloques de contenidos. Por eso pongo unos cuantos comentarios que ilustran lo que pasa si no se hace así:

(Esto son transcripciones de lo que, en investigación en Didáctica de las Matemáticas, se denominan entrevistas clínicas a los alumnos que habían realizado esta actividad en la clase. El resaltado en negrita es mío.)

A: “La verdad es que al principio vi el dado y pensé esto es probabilidades, pero no entendí como está relacionado. Pero después que tracé la recta empecé a entender cómo resolverlo…” “Las preguntas en clase son más fáciles. Nunca antes se me juntaron probabilidades con geometría analítica. Por ejemplo, en clase, hay una técnica para probabilidades, entonces yo sé que tengo que dibujar un “árbol”. Acá es más abstracto, solamente cuando tracé entendí lo que me pedían. … Una pregunta como ésta con geometría no vi nunca, no tenía idea por donde empezar. En clase yo sé que tengo que dibujar un árbol…”- Entrevistador: “¿Acaso la pregunta te pide un árbol?” -A: “No, pero así nos enseñaron, es el método de trabajo, acá no sabía cuál es el método.” (Transparencia 9)

Entrevistador: “¿La preguntas son fáciles/difíciles?” -A: “Me imagino que si hubiera estudiado esto, lo hubiera podido resolver mejor” - Entrevistador: “¿No estudiaste estos temas?” -A: “Sí, pero no de esta forma” (Transparencia 10)

Entrevistador: “¿La preguntas son parecidas, distintas a las que ves en clase?” -A: “Son distintas porque mezclan dos temas en una sola pregunta. En la clase, si es probabilidades, es eso sólo, si son funciones, es eso sólo. - Entrevistador: “¿Te interesaría que haya preguntas como estas que conectan distintos temas?” -A: “No, no creo. Me resulta más cómodo como es ahora. Es más simple. Pero, en realidad, si alguien me dice cómo hacer, yo diría, ¡ay!, ¿cómo no lo entendí antes?” (Transparencia 11)

A: “Me resulta mejor estudiar como estudiamos en clase. Esto me parece raro. … Lo difícil es que acá tengo que entender primero… Acá hay probabilidades y pendientes, áreas y geometría, no se centra en una sola cosa… Puede ser que si hubiera estudiado estas preguntas raras que tienen más o menos de todo me las hubiera arreglado bien… ” (Transparencia 12)

Bastante esclarecedor, ¿no? Otra cosa, ¿veis también la relación que hay con lo que decía cuando comentaba las declaraciones de la Sra. Presidenta de la RSME y los resultados del Informe PISA?

Desafortunadas declaraciones

2008-11-23T03:24:00.000-08:00

Publicado originalmente el 15 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace pocos mese apareció una noticia en los diarios. Se trata de la presidenta de la Real Sociedad Matemática Española, Olga Gil Medrano, que quita importancia al hecho reiterado de que los alumnos españoles estén siempre a la cola de cualquier prueba que se haga de Matemáticas. Considero muy desafortunado este comentario teniendo en cuenta el cargo que ocupa. Dos argumentos a favor de lo que dice, desde mi punto de vista también desafortunados, son "la pérdida de la cultura del esfuerzo" (la culpa es del estudiante) y "el hecho de que nuestros estudiantes no estén acostumbrados a resolver este tipo de pruebas no quiere decir que estén peor formados" (es que piden cosas muy raras).

Si bien el primer argumento es un factor que sí influye, no lo considero determinante (uno se esfuerza si le gusta/interesa una cosa o si hacen que le guste/interese). Ahora, el segundo argumento ya me parece que roza el absurdo. Cualquiera que conozca las pruebas PISA sabe que lo que piden son problemas reales o contextualizados. ¿Qué significa que nuestros alumnos no están acostumbrados a hacer este tipo de problemas? Si no están acostumbrados es que no hacemos las cosas bien. Y peor aún, ¿esto sirve para desprestigiar las pruebas? Yo creo que no. En cualquier caso desprestigia nuestro sistema de enseñanza y a la gente que sigue aferrándose a él porque es mucho más cómodo.

No os perdáis también el comentario de "el que no valga que haga FP en lugar de Bachillerato" (traducción capciosa mía pero que capta la esencia de lo que dice). Además, ¿no sabe que para hacer un Grado Superior hay que tener Bachillerato?

Con representantes de una sociedad matemática que dicen estas cosas, ¿quién necesita enemigos de la causa fuera? Desconozco la opinión de la "Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española" sobre las declaraciones de su presidenta.

P.D.: Para que quede claro, mi intención no es criticar a la persona, que no tengo el gusto de conocer y con toda probabilidad lo hizo con su mejor intención. Quiero dejar constancia de que, como dice el título, considero muy desafortunadas las declaraciones y argumentos utilizados para defender su posición.

División entera vs División exacta

2008-11-23T03:12:00.000-08:00

Publicado originalmente el 12 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace algún tiempo hice un comentario sobre una de las preguntas de Matemáticas del programa de televisión "¿Sabes más que un niño de Primaria?". Ayer, después de mucho tiempo sin verlo, volví a escuchar una pregunta que me extrañó. La pregunta fue si 56 : 8 es una división entera.

Yo tengo entendido que cualquier división entre números naturales puede ser entera (siempre que no utilices decimales). Dentro de las divisiones enteras se distinguen dos tipos: división exacta (si el resto es 0) y división inexacta (si el resto no es 0).

En el programa no utilizaron estas definiciones sino que utilizaron el término división entera como lo contrario a división exacta. De hecho, el concursante respondió que sí es una división entera y perdió un comodín porque según el programa no es correcta.

Antes que nada os pido vuestra opinión: ¿qué definición creéis que es la correcta? Y en caso que opinéis lo mismo que yo me surge de nuevo la misma duda: si este concurso coge las preguntas de los libros de texto, ¿enseñamos los docentes a los niños cosas que no son correctas en las clases de Matemáticas?

Cadenas de correos electrónicos (y matemáticas)

2008-11-23T01:41:00.000-08:00

Publicado originalmente el 7 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy he vuelto a recibir otro e-mail para formar una cadena de estas para defender causas muy nobles. Antes de nada decir, por si alguien no se ha dado cuenta, que la mayor parte de estas cadenas no tienen otro objetivo que el de recopilar direcciones electrónicas de gente que después no sabe porqué le llega tanto spam (o cosas peores si uno es tan ingenuo como para abrir los ficheros adjuntos que le llegan en e-mails de gente que no conoce). Ésto está relacionado con lo que en el mundo de los hackers se denomina "Ingeniería social". Muchos ya sabéis que una manera de evitar cadenas de correos electrónicos es borrar del texto las direcciones de toda la gente que lo ha reenviado y reenviarlo como copia oculta (CO)

No me entretendré hablando de estas cadenas que dicen que donaran nosecuántos céntimos por cada vez que se reenvíe un correo porque ya me parece muy fuerte que la gente se crea que hay una superentidad que se dedica a revisar si un e-mail con cierto tipo de contenido se envía y cuántas veces se hace. Y eso por no decir que es totalmente ilegal que alguien pueda acceder al contenido de mis e-mails sin una orden judicial (excepto Bush claro).

Pero desde hace poco comienzo a recibir otro tipo de cadenas. Os explico. Éstas directamente te dicen que cuando lo reenvíes borres las direcciones anteriores y utilices la copia oculta. Como ya he dicho antes, todas suelen tener causas muy nobles y se dedican a hacer listados de firmas a modo de protesta o reinvidicación. Quien ponga su nombre en una determinada posición de la lista tiene que reenviar la lista al origen (para recopilar las listas y poder presentarlas como argumento de fuerza en contra o a favor de la causa).

Analicemos estas cadenas desde un punto de vista matemático. Simplificaremos mucho el problema y supondremos que la persona que escribe el mensaje original es A y que cada persona que reciba el mensaje sigue la cadena y lo reenvía a dos personas (son pocas) que no han recibido el mensaje.

Primera generación:

Segunda generación:

Tercera generación:

ABD

ABE

ACF

ACG

Cuarta generación:

ABDH

ABDI

ABEJ

ABEK

ACFL

ACFM

ACGN

ACGO

(todo esto queda más bonito y claro con un árbol, pero...)

En esta generación circulan 8 listas distintas pero todas ellas con miembros comunes (por ejemplo en las dos primeras listas salen A, B y D). Está claro que el número de listas que circulan en la generación "n" es igual a la potencia de base 2 y exponente n-1.

…

Ahora pensad que el mensaje original dice que quien escriba su nombre en el número 200 devuelva el mensaje a una dirección de correo elecrónico (en teoría la dirección del miembro A).

Tenemos que observar que A recibirá una cantidad de listas que no se corresponde (multiplicada por 200) con la cantidad de gente (sin repetir) que de verdad ha firmado. En esta situación simplificada si llegasen todas las listas de la generación doscientas a A (2 elevado a 199 son muchas listas) aún podríamos saber qué cantidad de gente ha firmado (no es muy difícil encontrar cómo calcular la solución, lo dejo por si alguien quiere pensarlo). Pero en la realidad sabemos que no todos siguen la cadena (por ejemplo yo) y entonces no tenemos una función tan bonita como la exponencial de base 2 (o cualquier otra base) y la cosa es mucho más compleja. Si al miembro original le llegan 1000 listas, ¿cómo puede saber qué cantidad de gente real (sin repetir) está a favor de su causa? Y una cosa tengo clara, no se pondrá a contar la gente revisando una por una las listas.

Sigo pensando que estas cadenas son una tomadura de pelo.

Cuadrado mágico apocalíptico

2008-11-22T12:14:00.000-08:00

Publicado originalmente el 5 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

El otro día me llegó el libro "El prodigio de los números" de Clifford A. Pickover, que pertenece a la colección "Desafíos Matemáticos".

A los amantes del misterio os gustará saber que este libro tiene una dedicatoria especial. No está dedicado a ninguna persona sino a un cuadrado mágico muy especial denominado apocalíptico.

3	107	5	131	109	311
7	331	193	11	83	41
103	53	71	89	151	199
113	61	97	197	167	31
367	13	173	59	17	37
73	101	127	179	139	47

¿Qué tiene de especial este cuadrado mágico? Pues que sólo está formado por números primos (le da más misticismo) y el número resultante de sumar cualquier fila, cualquier columna, cualquier diagonal o cualquier diagonal quebrada (en el dibujo he señalado una) es 666 (el número de la Bestia).

Histograma o diagrama de barras

2008-11-22T11:15:00.000-08:00

Publicado originalmente el 14 de octubre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

¿Qué es un histograma? ¿Es lo mismo que un diagrama de barras?

Parece que no todos tenemos clara cuál es la respuesta. Y si uno empieza a consultar libros de Secundaria, de universidad, Internet... acabamos de liarnos, porque cada uno dice la suya.

A continuación pongo los gráficos que creo son correctos:

Diagrama de barras: idóneo para representar gŕaficamente los datos de una variable cuantitativa discreta (o cualitativa). Las modalidades de la variable se representan en el eje X y se levanta una barra de altura igual a la frecuencia de cada modalidad.

La elección del eje X para las modalidades y el eje Y para las frecuencias es arbitraria y no es raro ver diagramas con las modalidades en el eje Y.

Histograma: se utiliza para representar gráficamente los datos de una variable continua (o cuantitativa discreta con muchas modalidades), que han sido agrupados en (intervalos de) clases. En un eje (X) representamos las clases, teniendo en cuenta la amplitud de los intervalos, y en el otro eje (Y) levantamos un rectángulo de área igual a la frecuencia de la clase.

Una de las utilidades del histograma es poder ver de qué manera se distribuyen los datos (distribución de la variable). Y como ya hemos dicho, en los histogramas, a diferencia de los diagramas de barras, no es la altura la que determina la frecuencia de cada clase, sino el área del rectángulo. Y esto lo hacen mal en muchos libros de secundaria. Si todos los intervalos tienen la misma amplitud no hay problema, pero si no es así y cogemos una definición de histograma que diga que tenemos que levantar un rectángulo de altura igual a la frecuencia, entonces eso no es un histograma (es una especie de diagrama de barras para variables cuantitativas continuas) y no nos sirve para observar la distribución de la variable.

No sé dónde radican las causas de la confusión pero convendría que al menos las instituciones educativas, los docentes y los libros de texto lo tengan claro y dejen de confundir a la gente. Os animo a que echéis un vistazo a los libros de texto que estáis utilizando en clase.

Por otra parte, "histogramas" como este, realizado por el programa Excel (Análisis de datos), no ayudan mucho a esclarecer el tema:

Éste es el resultado si pedimos a Excel que haga un gráfico de barras (columnas) de los mismos datos agrupados en intervalos:

¿Cuál es la diferencia?

Esta definición ya me gusta un poco más.

La regla de los signos

2008-11-22T02:16:00.000-08:00

Publicado originalmente el 28 de septiembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Otra vez hago en voz alta una pregunta que me surgió hace tiempo porque me hicieron reflexionar al respecto. Os propongo una situación para que, si queréis, os animéis a reflexionar también.

En una clase de tercer ciclo de Primaria (la podemos hacer extensible a cualquier otro nivel) ha llegado el momento de enseñar a multiplicar números enteros. Evidentemente, primero mostramos a los alumnos la regla de los signos:

+ · + = +

+ · - = -

- · - = +

Un buen alumno, de estos que han captado el mensaje que se deriva de nuestras clases, en las que intentamos hacer que razonen, nos dice: "La primera es evidente. La segunda entiendo que si tienes 5 · (-3) es como tener cinco veces una deuda de tres euros y el resultado sigue siendo una deuda. Pero, ¿la tercera de dónde sale? ¿Por qué negativo multiplicado por negativo es positivo?

Cuando uno reflexiona se da cuenta de que las dificultades no sólo se encuentran en la justificación de la regla de los signos sino que también se entra en el terreno del propio concepto de número negativo y lo que significa operar con este tipo de números. Y un debate mucho más profundo pasaría por hablar de si los números negativos los consideramos una consecuencia de una serie de axiomas y términos definidos de una determinada manera o si, recíprocamente, los axiomas y definiciones los creamos para que organicen los fenómenos asociados a los números enteros.

Quien quiera y le interese, después de reflexionar un poco el tema puede echar un vistazo al siguiente documento, donde se hace una revisión desde la didáctica de la matemática de las diferentes justificaciones de la regla de los signos que se han utilizado a lo largo de la historia:

http://cumbia.ath.cx/ugr/phmc/PDF/GomezB.pdf

Charles Lutwidge Dodgson

2008-11-21T07:32:00.000-08:00

Publicado originalmente el 13 de agosto de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Por el nombre del título muy poca gente sabe quién es. Pero si utilizamos su seudónimo, Lewis Carroll, la cosa cambia. Y por si acaso alguien aún está perdido es suficiente con mencionar su obra literaria más conocida "Alice's Adventures in Wonderland" (Alícia en el país de las maravillas). No es su única obra literaria, pero eso ahora no nos ocupa. Como personaje histórico es muy peculiar y le rodea mucha leyenda. Además de escritor era sacerdote anglicano, fotógrafo... y lo que ahora sí nos ocupa, también matemático.

Además de recomendaros la lectura de "Alicia en el país de las maravillas" (olvidáos antes de aquella adaptación de Disney y os aviso que puede llegar a ser un poco paranoico), comentaré dos libros suyos que compré, uno hace aproximadamente un año y el otro hace unos días, éstos de carácter mucho más matemático.
Cuando uno empieza a leer a Lewis Carroll no tarda mucho en darse cuenta que era una mente privilegiada, aunque parece ser que acostumbraba a hacer uso de la modestia.

El primer libro se titula "Matemática Demente" (observad el juego de palabras), de "Tusquets Editores". Es una selección de historias con un cierto humor intelectual. En cada historieta podemos encontrar juegos en los que debemos utilizar la lógica o situaciones en las que se plantea un problema que debemos resolver. Me llamó mucho la atención que empiezas a leer como si fuera un relato literario y acabas de leer la historieta (tras haber pensado unos cuantos entretenimientos que encuentras por el camino) y muchas veces no sabes muy bien cuál es el enigma que debes resolver. La mayoría de situaciones problemáticas que nos presentan diariamente son situaciones en las que el problema está claramente definido y debemos dar respuesta a una pregunta. En este libro muchas veces tienes que pensar para llegar a saber cuál es el problema, cuál es la pregunta que debes hacer.

El otro libro se titula "Problemas de almohada", de "Nivola libros y ediciones". Éste es una recopilación de 72 problemas matemáticos que Lewis Carroll resolvía en la cama, antes de ir a dormir, sólo mentalmente sin utilizar papel ni ningún instrumento que no fuera su cabeza. Por ejemplo, el problema número 2 dice:
"En un triángulo dado, trazar una línea paralela a la base de manera que las longitudes de los segmentos de los lados interceptados entre ésta y la base sean, sumadas, iguales a la longitud de la base". Intentad resolverlo sólo con figuras mentales.
Podemos encontrar también problemas de álgebra, geometría, aritmética, trigonometría...

Leonardo da Pisa, ¿creador del sistema decimal?

2008-11-21T06:33:00.000-08:00

Publicado originalmente el 17 de julio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace dos semanas comenzó un programa de televisión titulado "¿Sabes más que un niño de primaria?" en Antena 3. En el programa de la semana pasada hicieron al concursante una pregunta, no recuerdo de qué curso, de la asignatura de Matemáticas que decía algo similar a lo siguiente: "¿Qué matemático fue el creador del sistema decimal?"

Cuando realizaron la pregunta me quedé dudando un buen rato. No es una pregunta fácil, al menos si quieres contestarla con rigor y no como hicieron en el programa. Si yo hubiera estado en el programa, finalmente me hubiera arriesgado a contestar "Leonardo da Pisa", sabiendo que es una respuesta incorrecta. Pues la respuesta que el programa daba por válida era Fibonacci (el otro nombre con el que conocemos a Leonardo da Pisa).

Como ya he dicho antes, esto es totalmente falso. Sí es cierto que Leonardo da Pisa importó a Europa este sistema decimal cuando aún utilizábamos el sistema romano. Pero de eso a decir que fue el creador hay muchísima diferencia.

Desgraciadamente muchas veces nos encontramos esta tendencia a pensar que fuera de nuestra cultura occidental no se han hecho grandes aportaciones. En realidad, el sistema decimal que utilizamos (que se llama así porque utiliza 10 dígitos, mal denominados arábigos) proviene de la India. Lo que desconozco es si se atribuye a algún personaje, pero creo que no hay ningún estudio determinante al respecto.

Una cosa que ahora me intriga es si este programa de televisión coge las preguntas de los libros de texto de Primaria. Eso significaría que los educadores enseñamos a los niños que el creador del sistema decimal fue una persona que en realidad no lo es. ¿Alguien lo ha encontrado en algún libro? Otra duda es si el programa me hubiera aceptado la respuesta de Leonardo da Pisa o si ignoran que es la misma persona que Fibonacci.

Bibliografía en los libros de texto

2008-11-21T06:17:00.000-08:00

Publicado originalmente el 30 de junio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Cuando uno es estudiante no se da mucha cuenta, pero cuando comienza a investigar, o simplemente a leer investigaciones del tema que sea, descubre la gran importancia que cobran las referencias bibliográficas. Es muy importante cuando uno escribe un artículo o realiza un trabajo que indique qué referencias ha utilizado a la hora de hacerlo. Podría hablar mucho más de temas relacionados con la bibliografía (otros nombres son: referencias, literatura [los que hacen una traducción literal del inglés]...) pero no es mi objetivo en este escrito.

Esta ocasión me interesa prestar especial atención a los libros de texto de Matemáticas de la Educación Primaria y Secundaria. No sé si os habréis dado cuenta del oscurantismo y el secretismo que hay respecto al mundo de la bibliografía en los libros de texto, hasta el punto que en la inmensa mayoría ni tan siquiera aparece ésta. Como ya he dicho antes, la bibliografía no es una cuestión menor ya que incluso muchas veces echando un vistazo a la bibliografía se puede ubicar el estilo, escuela o filosofía que sigue el trabajo. No sé si alguno de vosotros conoce las causas de este oscurantismo en cuanto a la bibliografía de los libros de texto.

Que no haya no sé si quiere decir que nos quieren hacer creer que los autores han partido de cero y se lo han inventado todo, cosa que como comprenderéis es muy difícil de creer, o si las razones son más por cuestiones comerciales de las editoriales, razón que tampoco entendería y mucho menos después de ver las grandes similitudes entre los libros de texto de las diferentes editoriales.

¿Alguien puede arrojar un poco de luz a este mundo tan oscuro?

La geometría del Aikido

2008-11-21T04:27:00.000-08:00

Publicado originalmente el 21 de junio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Además de las matemáticas, otra de mis aficiones es el Aikido. Es curioso, pero por aquella particular visión del mundo que creo tenemos los matemáticos, por todas partes encontramos matemáticas. A veces he oído a algún sensei hablar de la geometría del Aikido [vídeo1] y de las figuras planas básicas: el triangulo, el cuadrado y el círculo (se habla en muchas ocasiones de círculo en el sentido de circunferencia).
El triángulo simboliza la postura, la guardia, la dirección, el inicio del movimiento, el impulso y la proyección energética. La posición de defensa o guardia (kamae) es una postura donde los pies deben formar una especie de triángulo. Este triángulo proporciona estabilidad y, además, posibilita el movimiento en cualquier dirección.
Por otra parte, como si de una flecha se tratara, el triángulo penetra y disipa la energía negativa abriéndola hacia la positividad.

El cuadrado representa la estabilidad, lo estático, sólido y físico (material). Por otra parte también tiene una connotación de fuerza, de situación y orientación (los cuatro puntos cardinales)...

Los movimientos circulares son un hecho muy característico del Aikido [vídeo2] y que lo diferencia de otras artes marciales. Se utiliza el círculo para hacer alusión al movimiento, a la distancia, a la continuidad, al infinito... El movimiento circular no tiene aristas ni vértices, no tiene interrupciones y la energía aumenta, se recarga y corre libremente por una senda sin obstáculos. Por ejemplo, uno de los movimientos corporales básicos es el denominado tenkan, utilizado para evitar un ataque realizando un semicírculo y quedándose fuera de la zona peligrosa.

Pero también se habla de los elementos básicos del círculo: el centro y el radio. El radio se interpreta como un camino recto hacia el centro. Esta es la manera como se debe buscar el desequilibrio y la proyección del adversario, una entrada directa y decidida (irimi) hacia su centro.

La combinación continua de estos tres elementos es imprescindible para llegar a practicar Aikido [vídeo3] de una manera correcta y efectiva. Además, cabe añadir que todo lo que se ha explicado sobre las figuras planas se puede extender a los cuerpos geométricos, con la consecuente ampliación de los conceptos y filosofías, pero esta profundización ya escapa de mis conocimientos de Aikido. Sólo como ejemplo pongo la siguiente figura: una esfera inscrita en una pirámide (caras laterales son triángulos) de base cuadrada.

Después de leer cosas como esta, se entiende un poco mejor por qué se dice que el Aikido es una de las artes marciales más filosóficas, hasta el punto de ser llamada por algunos el arte marcial de la paz.

Agradecimientos:
- A mi profesor de Aikido, Esteban Begara Sensei, por sus correcciones y sugerencias.
- A mi hermana, Mª Dolores, por el dibujo 3d.

Referencias bibliográficas:
Luis Guz (2001): La Geometría del Aikido. Revista Cinturón Negro nº 10.

Referencias en Internet:
Entrevista a Charly Díez Sensei: http://www.abserver.es/aikidobudo/entrevista.html

¿Qué es un número?

2008-11-21T04:06:00.000-08:00

Publicado originalmente el 13 de junio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Algunos de vosotros me habéis escuchado hacer esta pregunta. Una de las cosas que más me chocaron una vez acabala la Licenciatura en Matemáticas fue que me hicieron esta pregunta y realmente no tengo ninguna contestación que me satisfaga lo suficiente. Para encontrar cuestiones que pueden comprometer a cualquier matemático muchas veces no es necesario recurrir a teorías sofisticadas para gente inexperta (series de Fourier, teoría de categorías...). Ya sabemos que a veces la pregunta más simple puede ser una de las más difíciles de contestar.

Nadie puede dudar que los números son una parte muy importante de las matemáticas y que el trabajo con ellos es una tarea cotidiana y diaria. Os animo a que penséis una definición correcta de número y a ser posible que la pongáis por aquí y así todos aprendemos de la participación de todo el mundo. Recordad que una definición matemáticamente correcta tiene que ser necesaria y suficiente. Por eso, una definición del tipo "es un objeto matemático" no es válida ya que hay muchos objetos matemáticos a los que no llamamos números.

Tal vez la comunidad matemática tiene alguna definición que yo desconozco o a lo mejor es mucho más fácil de lo que yo me pienso... ¿Qué opináis?