Días muy tristes

Éstos son días muy tristes. Hoy me han comunicado que una ex-alumna de magisterio, Virginia Urbano Enseñat, falleció el lunes.

Siento que hoy también ha muerto una parte de mi. Y es que los que sentimos fuertemente la vocación docente creamos un vínculo sentimental con nuestros alumnos. Ese vínculo podrá ser más fuerte o más débil en función de las afinidades con el alumno y, en muchas ocasiones, puede no ser un vínculo bidireccional o correspondido. Pero eso no le importa al verdadero docente porque tiene la convicción de que algo suyo ha quedado en la cabeza y en la forma de actuar de sus alumnos. Esa es la gran magia de ser maestro o profesor. Y en el caso de la formación de futuros docentes las repercusiones de esa impregnación puede llegar a muchas otras personas, los futuros alumnos a los que impartirá clase.

El lunes el colectivo docente perdió una gran maestra y el mundo una gran persona. De eso no me cabe ninguna duda y los que te conocimos no podemos sino llorar tu pérdida.

Deseo Virginia que seas feliz allà dónde hayas ido…

El contraejemplo monstruoso

Publicado originalmente el 29 de septiembre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy, leyendo artículos para mi tesis doctoral he encontrado lo que denominan un contraejemplo monstruoso (Monstrous Counterexample). Su objetivo es mostrar que aunque comprobemos que una propiedad se cumple en una cantidad muy grande de casos o hasta un número muy elevado, esto no implica que la propiedad sea cierta. Cito textualmente (traducido):

Considera la siguiente sentencia: La expresión 1+1141n² (donde n es un número natural) no da nunca un cuadrado perfecto.
La gente ha utilizado ordenadores para comprobar esta expresión y han encontrado que no da un cuadrado perfecto para ningún número natural desde 1 hasta 30.693.385.322.765.657.197.397.207
¡¡¡Pero da un cuadrado perfecto para el siguiente número natural!!!

Extraído del artículo “Enhancing undergraduate students’ understanding of proof” que presentaron este año G.J. Stylianides y A.J. Stylianides en la “11th Conference on Research in Undergraduates Mathematics Education”. [adaptación de un ejemplo del artículo “Are there coincidences in mathematics?” de P.J.Davis (1981)]

Una televisión de profesores.

Publicado originalmente el 15 de septiembre de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

El otro día buceando por Internet llegué a una página llamada Teachers TV. Se trata de un portal lleno de vídeos de experiencias de aula en el que podemos encontrar más de una propuesta interesante.

Como hay vídeos de todas las asignaturas, si nos interesa podemos filtrarlos por materias: vídeos de Matemáticas.

Podéis ver, por ejemplo, este vídeo de una clase de primaria. O estos otros (vídeo 2 , vídeo 3) sobre la utilización de Software de Geometría Dinámica en las aulas de secundaria.

Dos cosas: primero que está todo en inglés y segundo que se pueden ver todos los vídeos en la web sin tener que registrarse (pero si queremos descargar algún vídeo sí que nos tendremos que registrar como usuarios, también gratuitamente).

A ver cuándo llegan por estas tierras iniciativas de este tipo...

Probabilidad jugando a la PS2

Publicado originalmente el 13 de agosto de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

El domingo pasado nos invitaron a la casa de campo de una amiga y, después del obligatorio baño en la piscina y de haber comido, jugamos un rato al Buzz. El juego viene con 4 mandos pero mi amiga, que ya previó que querríamos jugar más personas, trajo otros 4 mandos más ya que el juego permite jugar hasta 8 personas al mismo tiempo.

Para quien no lo conozca, el videojuego simula el típico concurso de televisión en el que van haciendo preguntas y el concursante que crea conocer la respuesta aprieta el pulsador y responde. Hay diferentes tipos de pruebas, unas restan puntos si te equivocas en la respuesta y otras no.

El caso es que en la mayoría de pruebas lanzan una pregunta y te dan 4 posibles respuestas (sólo una correcta, claro) que se corresponden con los cuatro botones de colores que tiene el mando. En algunas pruebas gana la pregunta el primero que la responde correctamente. Y aquí entra el cálculo de probabilidades. Modelizaremos la situación pensando que todos los concursantes tienen un nivel de conocimientos parecido, leen la pregunta al mismo tiempo y tienen reflejos similares. Si juegan 4 personas podríamos decir que cada uno tiene un 25% de probabilidad de acertar la pregunta. 

Pero si juegan 8 personas en igualdad de condiciones a cada uno le corresponde una probabilidad del 12,5% (tiene que leer la pregunta, leer las respuestas, conocer cuál es la correcta y ser el primero en pulsar el botón correspondiente). Por tanto, si cambiamos la estrategia y lo que hacemos es en cuanto sale la pregunta, sin leerla ni nada, pulsamos uno de los cuatro botones. Como hay una respuesta válida de 4 posibles tendremos una probabilidad del 25% de acertar la pregunta.

Entonces podríamos decir que (jugando con 8 mandos) un mono que apretase los botones al azar tendría más probabilidad de acertar la pregunta que una persona que quiere saber qué le han preguntado e intenta escoger la respuesta que piensa que es correcta. Lo que pasa es que el resto de jugadores se cansan de que aciertes respuestas sin haber dado tiempo a leer nada y todos acaban haciendo lo mismo (de mono)... y así vuelves a tu 12'5% y además nadie se entera de las preguntas del concurso.

La situación se puede complicar todo lo que queramos porque hay diferentes tipos de pruebas y esta estrategia no es tan buena en todas ellas. Por ejemplo hay una prueba en la que se va reduciendo el número de jugadores, otras en las que las respuestas incorrectas restan puntos... Todo un entretenimiento matemático.

¡Ah, por cierto! El videojuego también es entretenido.

Del agua de Marte a Freudenthal

Publicado originalmente el 4 de agosto de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace una semana todos los medios de comunicación se hicieron eco de una noticia que lanzaba la NASA coincidiendo con su 50 aniversario: hay pruebas para afirmar que existe agua en Marte. Y, como cada vez que hay novedades de estas características, surge la eterna pregunta: ¿hay vida fuera de nuestro planeta?

Parece que lo más probable es que se demuestre la existencia de microorganismos incluso en lugares donde las condiciones no son demasiado favorables. Pero, ¿encontraremos algún día un tipo de vida más evolucionada? ¿Incluso inteligente? Una de las vías que se está utilizando para encontrar vida extraterrestre inteligente es filtrar el ruido del espacio buscando en determinadas frecuencias emisiones artificiales (parecidas a las que emitimos nosotros de radio o televisión). Los criterios para cribar los que es un candidato a emisión de una vida extraterrestre encuentro que son muy interesantes (uno de ellos es que haya cierta regularidad).

Y si encontramos vida extraterrestre inteligente (o nos encuentran ellos a nosotros) y se establece un contacto, ¿cómo nos podremos comunicar con ellos? Pues esta fue una de las cuestiones en las que trabajó el matemático Hans Freudenthal hace unas décadas. Sí, el mismo Hans Freudenthal del que os he hablado alguna vez, aquel matemático de la escuela holandesa que se dedicó a la didáctica de las matemáticas y desarrolló la filosofía realista de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y el análisis fenomenológico.

Freudenthal creó un lenguaje denominado LINCOS basado en las matemáticas (¿por eso dicen que las matemáticas son el lenguaje universal?) No sé si recordáis la película Contact [wikipedia] (basada en una novela de Carl Sagan) en la que detectan un mensaje proveniente del espacio. Pues el mensaje que captan está en una variante del lenguaje LINCOS de Hans Freudenthal.

Extraterrestes/vándalos matemáticos.

Publicado originalmente el 3 de julio de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy he encontrado visitando la web “Planeta Matemático” la siguiente noticia que apareció en elperiodico.com. Se trata de los típicos círculos que aparecen en los cultivos de un día para otro. Hay muchas teorías sobre su origen (la menos fantasiosa es que se trata de vándalos o de los propios agricultores que quieren hacerse publicidad). Esta ocasión el dibujo ha llamado la atención porque han descifrado que se encuentra el número PI dentro del mensaje de los círuclos. Curioso, ¿no?

Tomás y Tomenos

Publicado originalmente el 23 de mayo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy he ido a buscar la penúltima entrega (creo) de la colección "Desafíos Matemáticos". Tengo un montón de trabajo pero nunca me puedo resistir a abrir el libro por alguna página y echarles un vistazo.

Uno de ellos se titula "Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas” del autor Martin Gardner, conocido sin duda por los amantes de la denominada matemática recreativa. He visto que uno de sus capítulos trata sobre los números negativos, de los que ya hemos hablado por aquí en alguna ocasión (por ejemplo). Me ha parecido un capítulo interesante y recomendable. Cito textualmente tres cosas:

El capítulo comienza con un fragmento de la obra “A tale of Star-Crossed Lovers” d’Irving E. Fang:

“Mucho se nos parecen los de Negatierra.
Prefieren sus estudiantes las notas negativas.
Y trinan y protestan si sacan más de cero.
Nadie es Tomás (aunque sí Tomenos); y en esas tierras,
para el bolsillo es mascabo
ir de tiendas o comprar en el mercado.”
Después recoge una rima escolar citada por el autor W. H. Auden que dice:
“Menos por menos da más;
sin discusión así lo aceptarás.”

Y, finalmente, un chiste de esos tan malos que contamos los matemáticos:

“Esto era un individuo con una personalidad tan negativa que, cuando asistía a una fiesta, los invitados, mirando perplejos en torno a sí, preguntaban: ¿Quién se ha ido?”

Ya os digo, un capítulo interesante donde, además de lo que os he contado, nos habla de vacas negativas y vacas fantasmas... y de situaciones con negativos que cuando queremos contextualizarlas muchas veces no hacemos más que disparates.

Discalculia - La dislexia matemática

Publicado originalmente el 14 de mayo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos días oí hablar por primera vez de un termino denominado "discalculia". Para entendernos podríamos decir que es un trastorno parecido a la dislexia (en ocasiones asociado a ésta) que dificulta el aprendizaje de las matemáticas. Los estudios realizados hasta ahora afirman que aproximadamente entre un 3 y un 6 porciento de la población infantil padece este trastorno.

Lo he encontrado suficientemente interesante como para realizar una pequeña búsqueda de información en Internet y darlo a conocer en este blog, por si tampoco habíais oído hablar de él. Podéis, por ejemplo, consultar las siguientes entradas de la wikipedia (”discalculia” ES, “dyscalculia” EN). También he encontrado que, en la Universidad de Barcelona, Josep M. Serra Grabulosa, del Departamento de Psiquiatría y Psicobiología Clínica, investiga sobre este tema y tiene abierta una web en la que se ofrece información sobre este trastorno.

La duda que me surje es si los profesionales de los Departamentos de Orientación de los centros educativos están al corriente de este trastorno y, en caso afirmativo, si lo intentan detectar para tratarlo convenientemente, como se hace por ejemplo con la dislexia. Lo digo desde el más absoluto desconocimiento porque nunca me he encontrado con la situación de que en una reunión de equipo docente o de tutores se haya dicho que un alumno tiene discalculia (como sí he oído hablar de otros tipos de trastornos).

Videojuegos educativos (II)

Publicado originalmente el 7 de mayo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos meses escribí una entrada en el blog hablando de los videojuegos educativos. Comenté que encuentro muy positivo que saquen juegos educativos que fomenten el gusto por las matemáticas y deseaba que sacasen más juegos de este tipo. Pues parece que este deseo no ha tardado demasiado en cumplirse. De tipo general podemos encontrar “Brain Assist“, “Mind Quiz. Your Brain Coach” y “Brain Logic” (també conegut com “Dr Reiner Knizias Brainbenders” o “Brain Voyage“) que incluyen diversas pruebas con números y lógica; y específico de matemáticas encontramos afortunadamente un nuevo juego: “Maths Play : Have Fun with Numbers”, en el que podemos encontrar diversas pruebas donde tendremos que trabajar con igualdades aritméticas (p.ej. 8 : 4 + 5 = 9 - 4 : 2).

He visto que en la web oficial de Nintendo España aún no incluyen ninguno de estos juegos. No sé si ya están en los establecimientos comerciales, pero espero que la politica de esta filial sea comercializar todos estos juegos lo antes posible.

¿Manipulación publicitaria?

Publicado originalmente el 28 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Esta ocasión os hablaré de un anuncio que están emitiendo actualmente por la televisión. Se trata de un anuncio de Movistar en el que quieren remarcar que las llamadas entre usuarios de un mismo operador telefónico salen más baratas. Según ellos, si eres de Movistar, como hay más gente, puedes llamar a mejor precio a más gente. No quiero entrar a valorar esta premisa aunque creo que puede ser interesante.

Lo que me llamó la atención fue la siguiente imagen:
Se supone que estas pirámides las han formado con tantos móviles como clientes tiene cada operador telefónico. Por tanto, si consideramos que 1 móvil es nuestra unidad, el volumen de las pirámides es igual al número de clientes. Y ahora es cuando las cosas no me cuadran.

De hecho, sin saber mucho de matemáticas uno puede percibir claramente que en la pirámide azul (22,8) hay muchos más móviles que el doble de los que hay en la pirámide naranja (11).

Si miramos la imagen podemos decir que las pirámides cuadrangulares son semejantes (misma forma, aunque no tengan la misma medida). Sabemos que los poliedros semejantes, donde sus lados están en razón k, tienen un volumen en razón k³.

El error de la compañía Movistar (digo error para no presuponer intención de manipular la representación de la información) es pensar que el número de clientes (volumen) viene determinado sólo por las alturas de las pirámides (guardando una razón k, igual que los lados).

Pensando sobre esto me ha invadido un torrente de ideas para realizar actividades en clase a partir de este anuncio. La verdad es que ahora no tengo tiempo para dedicarme a escribirlas. Pero si pensáis un poco os saldrán enseguida: razón, proporcionalidad, semejanza, cuerpos geométricos, volúmenes, representación de la información, medida, gráficos, estimación y errores...

Por poner muy brevemente algunos ejemplos (y muy desordenados). Podemos imprimir la imagen y que los alumnos midan el lado de la base y la altura de las pirámides sobre el papel (o no imprimir y contar píxeles con algún programa de dibujo). Con esto ya estamos trabajando la medida y la estimación. Después podemos pedir que calculen el volumen de la pirámide. Podemos pedir a qué escala están representadas las pirámides (tenemos el dato del volumen real). Con esto trabajamos volúmenes y escalas. Una vez tenemos todos los datos podemos organizarlos con una tabla y estudiar las razones de proporcionalidad de los datos experimentales y los datos reales. Podríamos trabajar con el error de las estimaciones. Y sigue la lista de posibilidades.

Además saldrían cuestiones para investigar: por ejemplo que los datos de clientes que nos dan no se corresponden con los volúmenes reales. Podemos pedir entonces que representen correctamente los datos con pirámides y compararlas con las del anuncio. ¿Y si hiciéramos todas las pirámides con la misma base? ¿Y si en lugar de pirámides utilizamos prismas (conos, esferas, ...)? O también podríamos medir un móvil y calcular qué altura real tendrían estas pirámides. Y analizar si la representación de la imagen se ajusta a estos datos (tenemos la referencia del hombre)...

Si alguien se anima a preparar unas actividades y las quiere compartir estaremos todos encantados.

PD: Otra cosa que puede llamar la atención es que sólo entre estos 3 operadores tienen más clientes que habitantes tiene el país.

¿Por qué salen dos resultados distintos?

Publicado originalmente el 26 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Podemos poner el siguiente problema para reflexionar sobre las integrales (por ejemplo en segundo de Bachillerato):

Queremos encontrar la primitiva de la función Tg(x)·sec²(x)

Por una parte, haciendo el cambio de variable u=Tg(X) tenemos (click para ver imagen):

Por otra parte, si hacemos primero unas transformaciones trigonométricas y después el cambio u=cos(x) tenemos (click para ver imagen):

¿Cómo puede ser que la misma integral dé resultados distintos?

Blogfesores

Publicado originalmente el 13 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos meses descubrí una web denominada "blogfesores". Como su nombre indica se trata de una recopilación de enlaces a blogs educativos. Para hacernos una idea podemos consultar su manifiesto "Soy un Blogfesor". Es muy útil el directorio agrupado por categorías donde podemos ir a los blogfesores de matemáticas. Os recomiendo que le echéis un vistazo porque podréis encontrar cosas muy interesantes.

El paro ha subido y ha bajado

Publicado originalmente el 5 de marzo de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Llevamos ya unos meses de agotadora campaña electoral donde cada partido dice la suya (a pesar de que los medios sólo den difusión a dos de los partidos). Este domingo iremos a votar (los que queramos) y decidiremos democráticamente qué partido tendrá la mayoría suficiente para gobernar el país. Ya analizaremos matemáticamente los resultados porque siempre es una actividad que encuentro muy oportuna y positiva (y ya volveremos a hablar de la ley de Hondt).

Pero en esta ocasión no quiero hablar del sistema electoral sino de un hecho que he constatado durante esta campaña. ¡El paro ha bajado y también ha subido! Ahora es el momento en que decimos que cómo es posible una cosa y la contraria. No quiero realizar ninguna consideración política ya que cada uno tiene su opinión, pero si que quiero analizar lo más objetivamente posible estas afirmaciones de los dos grandes partidos políticos.

En los debates hemos visto como el Sr. Rajoy sacaba un gráfico (de líneas) dónde se mostraba cómo el paro había subido los últimos años. Pero en su turno, el Sr. Zapatero sacó otro (de barras) donde se mostraba cómo el paro había bajado en los últimos años. Claro, el ciudadano ve esto en ese momento y no puede sino dudar de la veracidad de alguno de los dos gráficos.

Bueno, pues hay que decir que ambos gráficos eran correctos. Y, ¿cómo puede ser esto posible? Pues porque aunque ambos hablaban del paro, no nos explicaron con claridad que hablaban en términos distintos. El Sr. Rajoy hablaba en términos absolutos, es decir, el gráfico mostraba la evolución del número de personas que hay apuntadas al paro. Y es un hecho que hay más personas apuntadas al paro, respecto a hace cuatro años. Por otra parte, el Sr. Zapatero hablaba en términos relativos, es decir, el gráfico mostraba la evolución del porcentaje del total de la población que está apuntada al paro. Y es un hecho que el porcentaje de personas apuntadas al paro ha bajado en los últimos cuatro años.

Insisto en que no quiero realizar una valoración política. Desde un punto de vista matemático encuentro más acertada la visión en términos relativos. Pondremos un ejemplo extremo. Imaginemos una población de 100 habitantes donde 50 de ellos no trabajan. Supongamos que diez años más tarde la población es de 1000 habitantes de los cuales 51 no trabajan. Creo, y esto ya es una opinión mía, que no sería muy justo criticar a los gobernantes en este caso porque el paro haya subido, teniendo en cuenta el total de habitantes. No obstante, como ciudadanos sí que podemos exigir a nuestros gobernantes (y opositores) que hagan todo lo que tengan que hacer para dar trabajo a estas 51 personas que quieren trabajar y no pueden.

Una cosa muy parecida ocurrió con los gráficos de la inflación, donde el Sr. Rajoy hablaba de la inflación puntual y el Sr. Zapatero hablaba de la inflación media.

Creo que el ciudadano debe tener una suficiente alfabetización matemática para, al menos, entender la información que le llega para después decidir qué criterio quiere seguir.