¿Se puede pesar un porcentaje?

Publicado originalmente el 23 de febrero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos meses vi un anuncio en la TV de una marca de chocolate y el otro día volví a verlo [vídeo] (no lo he encontrado en castellano). Bien, la cuestión es que el cocinero coge cacao y lo pesa en una balanza que mide porcentajes. Creo que puede ser una buena cuestión para plantear a los alumnos: ¿se puede pesar un porcentaje?

Videojuegos educativos

Publicado originalmente el 20 de febrero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hay un sector dentro del mundo de los juegos para videoconsolas que se cataloga como videojuegos educativos.Últimamente este sector lo lidera indiscutiblemente, por el número de videojuegos que saca para sus consolas, la compañía Nintendo.

Por ejemplo, para la Nintendo DS (algunos también disponibles para la Wii) podemos encontrar los ya famosos Brain Training y su segunda parte Más Brain Training. Estos juegos calculan una especie de cociente intelectual valorando una serie de pruebas y proponen unos ejercicios/juegos para ir mejorando. Tiene pruebas y ejercicios de práctica de tipo matemático (cálculo con operaciones básicas, series numéricas, lógica...). Del mismo estilo podemos encontrar también los juegos Big Brain Academy y Brain Challenge. Del tipo lingüístico podemos encontrar por ejemplo English Training, Mi experto en vocabulario, Mi experto en francés, Mi experto en inglés... Y también tenemos el Training for your eyes para ejercitar las facultades visuales. Por otra parte también hay una serie de juegos tipo Sudoku.

El otro día me sorprendió ver dos nuevos juegos que podríamos catalogar como educativos para Matemáticas: Maths Training y Tangram Mania (éste último en realidad es más un juego catalogado como Puzzle).

¡Bienvenidas sean todas aquellas iniciativas que ayuden a difundir el gusto por las matemáticas! A ver si se animan a sacar más juegos de este estilo.

P.D.: No tengo ningún convenio ni contrato publicitario firmado con Nintendo, pero es la que saca juegos educativos . Si alguien conoce juegos educativos para otra videoconsola que deje su comentario.

Didáctica de las matemáticas en la UCLMTV

Publicado originalmente el 24 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

La Universidad de Castilla La Mancha (UCLM) tiene un portal interactivo denominado UCLMTV donde cada domingo cuelgan el programa "UCLM al día", emitido en la televisión autonómica.

El 23 de diciembre de 2007 emitieron el programa número 50: “Estudio sobre la Didáctica de las Matemáticas“. Éste es un mini-reportaje de unos cinco minutos en el que se narra muy brevemente una de las propuestas didácticas que están llevando a cabo actualmente en cuatro centros de Primaria de Ciudad Real.

Encuentro muy buena idea realizar reportajes relacionados con cuestiones de la vida universitaria.

¿Navaja o anti-navaja?

Publicado originalmente el 10 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Si me estuviera refiriendo a la navaja como cuchillo de verdad, la respuesta a la pregunta dependería del uso que le vayamos a dar (si es para cortar pan entonces sí y si es para utilizar como arma pues no). Pero no me estoy refiriendo a ésto.

No sé si es porque los guionistas de Hollywood están en huelga o porque desde siempre se han copiado (digamos que se han inspirado en las ideas) unos a otros, pero el hecho es que a varias series de TV he oído hablar de los que se denomina la navaja de Occam.

Resumiendo mucho podemos decir que la navaja de Occam es una teoría que tiene como máximo principio el siguiente: en igualdad de condiciones la posibilidad más sencilla es la más probable. En la Wikipedia podéis encontrar un artículo muy interesante al respecto.

Como podréis leer es una teoría reduccionista y que tiene sus detractores, algunos de los cuales han formulado lo que se denomina una anti-navaja.

Os pongo un ejemplo de un caso que me ocurrió no hace mucho. Me disponía a ir a la universidad y me subí al coche. Todo normal hasta que, una vez sentado y con la llave en el contacto, cuando intentaba arrancar, el coche hacía el típico ruido de "no quiero arrancar" y no arrancaba. ¿Y ésto por qué?

Teoría 1. El coche tiene aproximadamente cinco años y nunca se ha cambiado la batería, así que se ha gastado y por eso no arranca el coche.

Teoría 2. Intentaba arracar el coche con una llave que creía perdida y que encontré dentro del bolsillo de un abrigo después de casi un año (cuando saqué la ropa de invierno del armario). Como tenía miedo de perder la única llave del coche que me quedaba, encargué otra al concesionario donde compré el coche. Resulta que las llaves de ahora llevan un código magnético y por protección cambiaron el código de la llave que me quedaba y de la nueva, de tal manera que la llave que creía perdida se quedó con un código diferente. Y por eso no arranca el coche.

La teoría más simple es la 1. Según la navaja de Occam es la más probable. Sin embargo, la teoría buena fue la 2. Por lo menos me dí cuenta antes de cambiar la batería del coche (que no me hubiera solucionado nada).

Tanto si a uno le gusta la navaja de Occam como si le gustan más las anti-navajas lo que no hay que hacer nunca es asumir que la posibilidad más probable es la única buena.

Libros de matemáticas en PDF

Publicado originalmente el 2 de enero de 2008 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace poco encontré la web de Carlos Ivorra, un profesor de la Universitat de València, donde se puede encontrar una serie de libros de Matemáticas en PDF (enlace). Hay libros sobre distintos temas: Lógica y Teoría de conjuntos, Pruebas de consistencia, Análisis no estándar, Álgebra, Geometría, Análisis, Funciones de variable compleja, Teoría de números, Teoría de cuerpos de clases, Topología algebraica, Geometría algebraica, Curvas elípticas, Álgebra homológica y conmutativa y Teoría de esquemas.

Yo aún no he conseguido tener tiempo suficiente para leer alguno de los libros con detenimiento. Si a alguien le interesa y lo hace nos podría dejar un comentario por aquí y decirnos qué le ha parecido.

¿2008 es divisible por 8?

Publicado originalmente el 24 de diciembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Es una pregunta muy sencilla. Basta dividir 2008 entre 8 y ver si el resto es 0.

Como 8 es 2 · 2 · 2, otra opción es hacer la mitad de la mitad de la mitad y si siempre da un número natural, entonces el número es divisible por 8 (en ocasiones mentalmente resulta más fácil hacer tres veces la mita que dividir entre 8). Pero ésto sigue siendo dividir el número entre 8 (aunque sea de otra manera).

¿Hay otra manera de saber si un número es divisible por 8? Ésto es lo que se conoce con el nombre de criterio de divisibilidad (en este caso del 8). En todos los libros de texto de Primaria y Secundaria podemos encontrar (sin justificación) los criterios de divisibilidad del 2, del 3, del 5 y del 10 (y con suerte alguno más como el 9 o el 11).

Para aquellos que no lo saben (o no se acuerdan) intentemos descubrir algún criterio de divisibilidad por 8.

Sea X un número que en base decimal escribiríamos de la siguiente forma:

X = a_na_(n-1)…a₃a₂a₁a₀ donde cada a_i es un dígito del 0 al 9 (incluidos)

En realidad ésto es una notación que utilizamos para simplificar la expresión:

X = a_n · 10ⁿ + a_(n-1) · 10^(n-1) + … + a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

Recordemos que hemos dicho que un número es divisible por 8 si el resto de la división entre 8 da 0. Por tanto, ésto es equivalente a decir que el número es congruente con 0 (módulo 8). (Nota: A partir de este momento algunas igualdades son congruencias módulo 8.)

Antes de ver la congruencia módulo 8 de nuestro número veamos qué congruencia módulo 8 tienen las potencias de 10:

10 = 2 ( ya que 2 es el resto de la división 10:8 )

10² = 100 = 4 ( ya que 4 es el resto de la división 100:8)

10³ = 1000 = 0 ( ya que 1000 es divisible por 8 )

10^m = 10³ · 10^m-3 = 0 · 10^m-3 = 0 Es decir, toda potencia de 10 mayor que 100 es divisible por 8.

Por tanto, observemos la congruencia módulo 8 de nuestro número:

X = a_n · 10ⁿ + a_(n-1) · 10^(n-1) + … + a₃ · 10³ + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

= a_n · 0 + a_(n-1) · 0 + … + a₃ · 0 + a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀ = a₂ · 10² + a₁ · 10 + a₀

Así pues, hemos deducido que un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras (a₂a₁a₀) es divisible por 8.

De esta forma, el caso de 2008 es muy fácil ya que sólo tenemos que comprobar si 008 = 8 es divisible por 8. También es muy fácil saber si el número 6516874654684765463486800 es divisible por 8 sólo con un vistazo utilizando el criterio de divisibilidad (en este caso yo mentalmente no llego a hacer la mitad de este número)

PD1: El razonamiento seguido para llegar al criterio de divisibilidad del 8 es análogo para criterios de divisibilidad de muchos otros números. Quien quiera puede demostrar los criterios que siempre ha utilizado sin saber por qué y deducir otros que no son tan conocidos.

PD2: Desde mi punto de vista, salvo en la implementación de algoritmos en ordenadores, el objetivo de los criterios de divisibilidad debe ser simplificar un cálculo que queremos realizar. Cuando el criterio se vuelve más complejo que la propia división no tienen ningún sentido utilizarlo (por ejemplo el criterio de divisibilidad por 7).

PD3: También podíamos haber dicho que el criterio de divisibilidad del 8 es comprobar si 4 veces la cifra de las centenas más dos veces la cifra de las decenas más la cifra de las unidades (4 · a₂ + 2 · a₁ + a₀) es divisible por 8, pero se aplica lo que he dicho en PD2.

¿¿Aceptable, aunque mejorable??

Publicado originalmente el 10 de diciembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace una semana se hicieron públicos los resultados de las pruebas PISA 2006. Respecto a las anteriores pruebas (2003), España ha bajado cinco puntos en el área de Matemáticas (de 485 a 480). Por tanto podemos afirmar que seguimos tan mal como antes. Esto no sorprende si tenemos en cuenta que no hemos cambiado nada de lo que enseñamos ni de cómo lo enseñamos.

Lo que sí sorprende son las declaraciones que hizo la ministra calificando de "aceptables, aunque mejorables" los resultados de Matemáticas. Para mi no hay nada de aceptable en estos resultados que nos sitúan 18 puntos por debajo de la media de los países de la OCDE. Si ésta es la visión que se tiene desde el Ministerio de Educación vamos mal. El primer paso para intentar resolver cualquier problema es reconocer que se tiene un problema y parece ser que aún no se quiere llegar a esta fase.

En cualquier caso, si los resultados en Matemáticas son mejorables, ¿qué medidas adoptará el Ministerio para conseguir esta mejora? No creo que quedarse esperando otra vez los mismos resultados en las siguientes pruebas (2009) sea una buena postura.

La enseñanza de contenidos aislados

Publicado originalmente el 20 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace unos días comentaba los borradores de currículos de Matemáticas de Primaria y Secundaria de las Islas Baleares. Uno de mis comentarios fue que era necesario hacer más énfasis en la interconexión de los diferentes bloques de contenidos. Hoy por Internet he encontrado, en la web de la Sociedad Chilena de Educación Matemática, unos enlaces a dos conferencias del Dr. Abraham Arcavi. Una de ellas se titula "Hacia una visión integradora de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas" y tuvo lugar en Santiago de Chile este mes (noviembre de 2007).

En esta conferencia, el Dr. Arcavi cuenta una experiencia que llevó al aula. Propuso el siguiente problema:

El gráfico Cartesiano de las funciones y=ax+1 es una recta que forma un triángulo con los ejes coordenados. Lanzamos un dado común y sustituimos “a” por el valor obtenido. ¿Para qué valor de “a” el triángulo formado es isósceles? ¿Para qué valor de “a” se obtiene el triángulo de menor área? ¿Cuál es la probabilidad de que el área del triángulo formado sea menor que 1/6? ¿Cuál es la probabilidad de que el área del triángulo formado sea mayor que 1/2? (transparencia 6)

El problema me parece muy interesante. Pero me gustaría incidir en la importancia de lo que comentaba sobre la conexión de todos los bloques de contenidos. Por eso pongo unos cuantos comentarios que ilustran lo que pasa si no se hace así:

(Esto son transcripciones de lo que, en investigación en Didáctica de las Matemáticas, se denominan entrevistas clínicas a los alumnos que habían realizado esta actividad en la clase. El resaltado en negrita es mío.)

A: “La verdad es que al principio vi el dado y pensé esto es probabilidades, pero no entendí como está relacionado. Pero después que tracé la recta empecé a entender cómo resolverlo…” “Las preguntas en clase son más fáciles. Nunca antes se me juntaron probabilidades con geometría analítica. Por ejemplo, en clase, hay una técnica para probabilidades, entonces yo sé que tengo que dibujar un “árbol”. Acá es más abstracto, solamente cuando tracé entendí lo que me pedían. … Una pregunta como ésta con geometría no vi nunca, no tenía idea por donde empezar. En clase yo sé que tengo que dibujar un árbol…”- Entrevistador: “¿Acaso la pregunta te pide un árbol?” -A: “No, pero así nos enseñaron, es el método de trabajo, acá no sabía cuál es el método.” (Transparencia 9)

Entrevistador: “¿La preguntas son fáciles/difíciles?” -A: “Me imagino que si hubiera estudiado esto, lo hubiera podido resolver mejor” - Entrevistador: “¿No estudiaste estos temas?” -A: “Sí, pero no de esta forma” (Transparencia 10)

Entrevistador: “¿La preguntas son parecidas, distintas a las que ves en clase?” -A: “Son distintas porque mezclan dos temas en una sola pregunta. En la clase, si es probabilidades, es eso sólo, si son funciones, es eso sólo. - Entrevistador: “¿Te interesaría que haya preguntas como estas que conectan distintos temas?” -A: “No, no creo. Me resulta más cómodo como es ahora. Es más simple. Pero, en realidad, si alguien me dice cómo hacer, yo diría, ¡ay!, ¿cómo no lo entendí antes?” (Transparencia 11)

A: “Me resulta mejor estudiar como estudiamos en clase. Esto me parece raro. … Lo difícil es que acá tengo que entender primero… Acá hay probabilidades y pendientes, áreas y geometría, no se centra en una sola cosa… Puede ser que si hubiera estudiado estas preguntas raras que tienen más o menos de todo me las hubiera arreglado bien… ” (Transparencia 12)

Bastante esclarecedor, ¿no? Otra cosa, ¿veis también la relación que hay con lo que decía cuando comentaba las declaraciones de la Sra. Presidenta de la RSME y los resultados del Informe PISA?

Desafortunadas declaraciones

Publicado originalmente el 15 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace pocos mese apareció una noticia en los diarios. Se trata de la presidenta de la Real Sociedad Matemática Española, Olga Gil Medrano, que quita importancia al hecho reiterado de que los alumnos españoles estén siempre a la cola de cualquier prueba que se haga de Matemáticas. Considero muy desafortunado este comentario teniendo en cuenta el cargo que ocupa. Dos argumentos a favor de lo que dice, desde mi punto de vista también desafortunados, son "la pérdida de la cultura del esfuerzo" (la culpa es del estudiante) y "el hecho de que nuestros estudiantes no estén acostumbrados a resolver este tipo de pruebas no quiere decir que estén peor formados" (es que piden cosas muy raras).

Si bien el primer argumento es un factor que sí influye, no lo considero determinante (uno se esfuerza si le gusta/interesa una cosa o si hacen que le guste/interese). Ahora, el segundo argumento ya me parece que roza el absurdo. Cualquiera que conozca las pruebas PISA sabe que lo que piden son problemas reales o contextualizados. ¿Qué significa que nuestros alumnos no están acostumbrados a hacer este tipo de problemas? Si no están acostumbrados es que no hacemos las cosas bien. Y peor aún, ¿esto sirve para desprestigiar las pruebas? Yo creo que no. En cualquier caso desprestigia nuestro sistema de enseñanza y a la gente que sigue aferrándose a él porque es mucho más cómodo.

No os perdáis también el comentario de "el que no valga que haga FP en lugar de Bachillerato" (traducción capciosa mía pero que capta la esencia de lo que dice). Además, ¿no sabe que para hacer un Grado Superior hay que tener Bachillerato?

Con representantes de una sociedad matemática que dicen estas cosas, ¿quién necesita enemigos de la causa fuera? Desconozco la opinión de la "Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española" sobre las declaraciones de su presidenta.

P.D.: Para que quede claro, mi intención no es criticar a la persona, que no tengo el gusto de conocer y con toda probabilidad lo hizo con su mejor intención. Quiero dejar constancia de que, como dice el título, considero muy desafortunadas las declaraciones y argumentos utilizados para defender su posición.

División entera vs División exacta

Publicado originalmente el 12 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace algún tiempo hice un comentario sobre una de las preguntas de Matemáticas del programa de televisión "¿Sabes más que un niño de Primaria?". Ayer, después de mucho tiempo sin verlo, volví a escuchar una pregunta que me extrañó. La pregunta fue si 56 : 8 es una división entera.

Yo tengo entendido que cualquier división entre números naturales puede ser entera (siempre que no utilices decimales). Dentro de las divisiones enteras se distinguen dos tipos: división exacta (si el resto es 0) y división inexacta (si el resto no es 0).

En el programa no utilizaron estas definiciones sino que utilizaron el término división entera como lo contrario a división exacta. De hecho, el concursante respondió que sí es una división entera y perdió un comodín porque según el programa no es correcta.

Antes que nada os pido vuestra opinión: ¿qué definición creéis que es la correcta? Y en caso que opinéis lo mismo que yo me surge de nuevo la misma duda: si este concurso coge las preguntas de los libros de texto, ¿enseñamos los docentes a los niños cosas que no son correctas en las clases de Matemáticas?

Cadenas de correos electrónicos (y matemáticas)

Publicado originalmente el 7 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hoy he vuelto a recibir otro e-mail para formar una cadena de estas para defender causas muy nobles. Antes de nada decir, por si alguien no se ha dado cuenta, que la mayor parte de estas cadenas no tienen otro objetivo que el de recopilar direcciones electrónicas de gente que después no sabe porqué le llega tanto spam (o cosas peores si uno es tan ingenuo como para abrir los ficheros adjuntos que le llegan en e-mails de gente que no conoce). Ésto está relacionado con lo que en el mundo de los hackers se denomina "Ingeniería social". Muchos ya sabéis que una manera de evitar cadenas de correos electrónicos es borrar del texto las direcciones de toda la gente que lo ha reenviado y reenviarlo como copia oculta (CO)

No me entretendré hablando de estas cadenas que dicen que donaran nosecuántos céntimos por cada vez que se reenvíe un correo porque ya me parece muy fuerte que la gente se crea que hay una superentidad que se dedica a revisar si un e-mail con cierto tipo de contenido se envía y cuántas veces se hace. Y eso por no decir que es totalmente ilegal que alguien pueda acceder al contenido de mis e-mails sin una orden judicial (excepto Bush claro).

Pero desde hace poco comienzo a recibir otro tipo de cadenas. Os explico. Éstas directamente te dicen que cuando lo reenvíes borres las direcciones anteriores y utilices la copia oculta. Como ya he dicho antes, todas suelen tener causas muy nobles y se dedican a hacer listados de firmas a modo de protesta o reinvidicación. Quien ponga su nombre en una determinada posición de la lista tiene que reenviar la lista al origen (para recopilar las listas y poder presentarlas como argumento de fuerza en contra o a favor de la causa).

Analicemos estas cadenas desde un punto de vista matemático. Simplificaremos mucho el problema y supondremos que la persona que escribe el mensaje original es A y que cada persona que reciba el mensaje sigue la cadena y lo reenvía a dos personas (son pocas) que no han recibido el mensaje.

Primera generación:

A

Segunda generación:

AB

AC

Tercera generación:

ABD

ABE

ACF

ACG

Cuarta generación:

ABDH

ABDI

ABEJ

ABEK

ACFL

ACFM

ACGN

ACGO

(todo esto queda más bonito y claro con un árbol, pero...)

En esta generación circulan 8 listas distintas pero todas ellas con miembros comunes (por ejemplo en las dos primeras listas salen A, B y D). Está claro que el número de listas que circulan en la generación "n" es igual a la potencia de base 2 y exponente n-1.

…

Ahora pensad que el mensaje original dice que quien escriba su nombre en el número 200 devuelva el mensaje a una dirección de correo elecrónico (en teoría la dirección del miembro A).

Tenemos que observar que A recibirá una cantidad de listas que no se corresponde (multiplicada por 200) con la cantidad de gente (sin repetir) que de verdad ha firmado. En esta situación simplificada si llegasen todas las listas de la generación doscientas a A (2 elevado a 199 son muchas listas) aún podríamos saber qué cantidad de gente ha firmado (no es muy difícil encontrar cómo calcular la solución, lo dejo por si alguien quiere pensarlo). Pero en la realidad sabemos que no todos siguen la cadena (por ejemplo yo) y entonces no tenemos una función tan bonita como la exponencial de base 2 (o cualquier otra base) y la cosa es mucho más compleja. Si al miembro original le llegan 1000 listas, ¿cómo puede saber qué cantidad de gente real (sin repetir) está a favor de su causa? Y una cosa tengo clara, no se pondrá a contar la gente revisando una por una las listas.

Sigo pensando que estas cadenas son una tomadura de pelo.

Cuadrado mágico apocalíptico

Publicado originalmente el 5 de noviembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

El otro día me llegó el libro "El prodigio de los números" de Clifford A. Pickover, que pertenece a la colección "Desafíos Matemáticos".

A los amantes del misterio os gustará saber que este libro tiene una dedicatoria especial. No está dedicado a ninguna persona sino a un cuadrado mágico muy especial denominado apocalíptico.

3	107	5	131	109	311
7	331	193	11	83	41
103	53	71	89	151	199
113	61	97	197	167	31
367	13	173	59	17	37
73	101	127	179	139	47

¿Qué tiene de especial este cuadrado mágico? Pues que sólo está formado por números primos (le da más misticismo) y el número resultante de sumar cualquier fila, cualquier columna, cualquier diagonal o cualquier diagonal quebrada (en el dibujo he señalado una) es 666 (el número de la Bestia).

Histograma o diagrama de barras

Publicado originalmente el 14 de octubre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

¿Qué es un histograma? ¿Es lo mismo que un diagrama de barras?

Parece que no todos tenemos clara cuál es la respuesta. Y si uno empieza a consultar libros de Secundaria, de universidad, Internet... acabamos de liarnos, porque cada uno dice la suya.

A continuación pongo los gráficos que creo son correctos:

Diagrama de barras: idóneo para representar gŕaficamente los datos de una variable cuantitativa discreta (o cualitativa). Las modalidades de la variable se representan en el eje X y se levanta una barra de altura igual a la frecuencia de cada modalidad.

La elección del eje X para las modalidades y el eje Y para las frecuencias es arbitraria y no es raro ver diagramas con las modalidades en el eje Y.

Histograma: se utiliza para representar gráficamente los datos de una variable continua (o cuantitativa discreta con muchas modalidades), que han sido agrupados en (intervalos de) clases. En un eje (X) representamos las clases, teniendo en cuenta la amplitud de los intervalos, y en el otro eje (Y) levantamos un rectángulo de área igual a la frecuencia de la clase.

Una de las utilidades del histograma es poder ver de qué manera se distribuyen los datos (distribución de la variable). Y como ya hemos dicho, en los histogramas, a diferencia de los diagramas de barras, no es la altura la que determina la frecuencia de cada clase, sino el área del rectángulo. Y esto lo hacen mal en muchos libros de secundaria. Si todos los intervalos tienen la misma amplitud no hay problema, pero si no es así y cogemos una definición de histograma que diga que tenemos que levantar un rectángulo de altura igual a la frecuencia, entonces eso no es un histograma (es una especie de diagrama de barras para variables cuantitativas continuas) y no nos sirve para observar la distribución de la variable.

No sé dónde radican las causas de la confusión pero convendría que al menos las instituciones educativas, los docentes y los libros de texto lo tengan claro y dejen de confundir a la gente. Os animo a que echéis un vistazo a los libros de texto que estáis utilizando en clase.

Por otra parte, "histogramas" como este, realizado por el programa Excel (Análisis de datos), no ayudan mucho a esclarecer el tema:

Éste es el resultado si pedimos a Excel que haga un gráfico de barras (columnas) de los mismos datos agrupados en intervalos:

¿Cuál es la diferencia?

Esta definición ya me gusta un poco más.

La regla de los signos

Publicado originalmente el 28 de septiembre de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Otra vez hago en voz alta una pregunta que me surgió hace tiempo porque me hicieron reflexionar al respecto. Os propongo una situación para que, si queréis, os animéis a reflexionar también.

En una clase de tercer ciclo de Primaria (la podemos hacer extensible a cualquier otro nivel) ha llegado el momento de enseñar a multiplicar números enteros. Evidentemente, primero mostramos a los alumnos la regla de los signos:

+ · + = +

+ · - = -

- · - = +

Un buen alumno, de estos que han captado el mensaje que se deriva de nuestras clases, en las que intentamos hacer que razonen, nos dice: "La primera es evidente. La segunda entiendo que si tienes 5 · (-3) es como tener cinco veces una deuda de tres euros y el resultado sigue siendo una deuda. Pero, ¿la tercera de dónde sale? ¿Por qué negativo multiplicado por negativo es positivo?

Cuando uno reflexiona se da cuenta de que las dificultades no sólo se encuentran en la justificación de la regla de los signos sino que también se entra en el terreno del propio concepto de número negativo y lo que significa operar con este tipo de números. Y un debate mucho más profundo pasaría por hablar de si los números negativos los consideramos una consecuencia de una serie de axiomas y términos definidos de una determinada manera o si, recíprocamente, los axiomas y definiciones los creamos para que organicen los fenómenos asociados a los números enteros.

Quien quiera y le interese, después de reflexionar un poco el tema puede echar un vistazo al siguiente documento, donde se hace una revisión desde la didáctica de la matemática de las diferentes justificaciones de la regla de los signos que se han utilizado a lo largo de la historia:

http://cumbia.ath.cx/ugr/phmc/PDF/GomezB.pdf

Charles Lutwidge Dodgson

Publicado originalmente el 13 de agosto de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Por el nombre del título muy poca gente sabe quién es. Pero si utilizamos su seudónimo, Lewis Carroll, la cosa cambia. Y por si acaso alguien aún está perdido es suficiente con mencionar su obra literaria más conocida "Alice's Adventures in Wonderland" (Alícia en el país de las maravillas). No es su única obra literaria, pero eso ahora no nos ocupa. Como personaje histórico es muy peculiar y le rodea mucha leyenda. Además de escritor era sacerdote anglicano, fotógrafo... y lo que ahora sí nos ocupa, también matemático.

Además de recomendaros la lectura de "Alicia en el país de las maravillas" (olvidáos antes de aquella adaptación de Disney y os aviso que puede llegar a ser un poco paranoico), comentaré dos libros suyos que compré, uno hace aproximadamente un año y el otro hace unos días, éstos de carácter mucho más matemático.
Cuando uno empieza a leer a Lewis Carroll no tarda mucho en darse cuenta que era una mente privilegiada, aunque parece ser que acostumbraba a hacer uso de la modestia.

El primer libro se titula "Matemática Demente" (observad el juego de palabras), de "Tusquets Editores". Es una selección de historias con un cierto humor intelectual. En cada historieta podemos encontrar juegos en los que debemos utilizar la lógica o situaciones en las que se plantea un problema que debemos resolver. Me llamó mucho la atención que empiezas a leer como si fuera un relato literario y acabas de leer la historieta (tras haber pensado unos cuantos entretenimientos que encuentras por el camino) y muchas veces no sabes muy bien cuál es el enigma que debes resolver. La mayoría de situaciones problemáticas que nos presentan diariamente son situaciones en las que el problema está claramente definido y debemos dar respuesta a una pregunta. En este libro muchas veces tienes que pensar para llegar a saber cuál es el problema, cuál es la pregunta que debes hacer.

El otro libro se titula "Problemas de almohada", de "Nivola libros y ediciones". Éste es una recopilación de 72 problemas matemáticos que Lewis Carroll resolvía en la cama, antes de ir a dormir, sólo mentalmente sin utilizar papel ni ningún instrumento que no fuera su cabeza. Por ejemplo, el problema número 2 dice:
"En un triángulo dado, trazar una línea paralela a la base de manera que las longitudes de los segmentos de los lados interceptados entre ésta y la base sean, sumadas, iguales a la longitud de la base". Intentad resolverlo sólo con figuras mentales.
Podemos encontrar también problemas de álgebra, geometría, aritmética, trigonometría...

Leonardo da Pisa, ¿creador del sistema decimal?

Publicado originalmente el 17 de julio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Hace dos semanas comenzó un programa de televisión titulado "¿Sabes más que un niño de primaria?" en Antena 3. En el programa de la semana pasada hicieron al concursante una pregunta, no recuerdo de qué curso, de la asignatura de Matemáticas que decía algo similar a lo siguiente: "¿Qué matemático fue el creador del sistema decimal?"

Cuando realizaron la pregunta me quedé dudando un buen rato. No es una pregunta fácil, al menos si quieres contestarla con rigor y no como hicieron en el programa. Si yo hubiera estado en el programa, finalmente me hubiera arriesgado a contestar "Leonardo da Pisa", sabiendo que es una respuesta incorrecta. Pues la respuesta que el programa daba por válida era Fibonacci (el otro nombre con el que conocemos a Leonardo da Pisa).

Como ya he dicho antes, esto es totalmente falso. Sí es cierto que Leonardo da Pisa importó a Europa este sistema decimal cuando aún utilizábamos el sistema romano. Pero de eso a decir que fue el creador hay muchísima diferencia.

Desgraciadamente muchas veces nos encontramos esta tendencia a pensar que fuera de nuestra cultura occidental no se han hecho grandes aportaciones. En realidad, el sistema decimal que utilizamos (que se llama así porque utiliza 10 dígitos, mal denominados arábigos) proviene de la India. Lo que desconozco es si se atribuye a algún personaje, pero creo que no hay ningún estudio determinante al respecto.

Una cosa que ahora me intriga es si este programa de televisión coge las preguntas de los libros de texto de Primaria. Eso significaría que los educadores enseñamos a los niños que el creador del sistema decimal fue una persona que en realidad no lo es. ¿Alguien lo ha encontrado en algún libro? Otra duda es si el programa me hubiera aceptado la respuesta de Leonardo da Pisa o si ignoran que es la misma persona que Fibonacci.

Bibliografía en los libros de texto

Publicado originalmente el 30 de junio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Cuando uno es estudiante no se da mucha cuenta, pero cuando comienza a investigar, o simplemente a leer investigaciones del tema que sea, descubre la gran importancia que cobran las referencias bibliográficas. Es muy importante cuando uno escribe un artículo o realiza un trabajo que indique qué referencias ha utilizado a la hora de hacerlo. Podría hablar mucho más de temas relacionados con la bibliografía (otros nombres son: referencias, literatura [los que hacen una traducción literal del inglés]...) pero no es mi objetivo en este escrito.

Esta ocasión me interesa prestar especial atención a los libros de texto de Matemáticas de la Educación Primaria y Secundaria. No sé si os habréis dado cuenta del oscurantismo y el secretismo que hay respecto al mundo de la bibliografía en los libros de texto, hasta el punto que en la inmensa mayoría ni tan siquiera aparece ésta. Como ya he dicho antes, la bibliografía no es una cuestión menor ya que incluso muchas veces echando un vistazo a la bibliografía se puede ubicar el estilo, escuela o filosofía que sigue el trabajo. No sé si alguno de vosotros conoce las causas de este oscurantismo en cuanto a la bibliografía de los libros de texto.

Que no haya no sé si quiere decir que nos quieren hacer creer que los autores han partido de cero y se lo han inventado todo, cosa que como comprenderéis es muy difícil de creer, o si las razones son más por cuestiones comerciales de las editoriales, razón que tampoco entendería y mucho menos después de ver las grandes similitudes entre los libros de texto de las diferentes editoriales.

¿Alguien puede arrojar un poco de luz a este mundo tan oscuro?

La geometría del Aikido

Publicado originalmente el 21 de junio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Además de las matemáticas, otra de mis aficiones es el Aikido. Es curioso, pero por aquella particular visión del mundo que creo tenemos los matemáticos, por todas partes encontramos matemáticas. A veces he oído a algún sensei hablar de la geometría del Aikido [vídeo1] y de las figuras planas básicas: el triangulo, el cuadrado y el círculo (se habla en muchas ocasiones de círculo en el sentido de circunferencia).
El triángulo simboliza la postura, la guardia, la dirección, el inicio del movimiento, el impulso y la proyección energética. La posición de defensa o guardia (kamae) es una postura donde los pies deben formar una especie de triángulo. Este triángulo proporciona estabilidad y, además, posibilita el movimiento en cualquier dirección.
Por otra parte, como si de una flecha se tratara, el triángulo penetra y disipa la energía negativa abriéndola hacia la positividad.

El cuadrado representa la estabilidad, lo estático, sólido y físico (material). Por otra parte también tiene una connotación de fuerza, de situación y orientación (los cuatro puntos cardinales)...

Los movimientos circulares son un hecho muy característico del Aikido [vídeo2] y que lo diferencia de otras artes marciales. Se utiliza el círculo para hacer alusión al movimiento, a la distancia, a la continuidad, al infinito... El movimiento circular no tiene aristas ni vértices, no tiene interrupciones y la energía aumenta, se recarga y corre libremente por una senda sin obstáculos. Por ejemplo, uno de los movimientos corporales básicos es el denominado tenkan, utilizado para evitar un ataque realizando un semicírculo y quedándose fuera de la zona peligrosa.

Pero también se habla de los elementos básicos del círculo: el centro y el radio. El radio se interpreta como un camino recto hacia el centro. Esta es la manera como se debe buscar el desequilibrio y la proyección del adversario, una entrada directa y decidida (irimi) hacia su centro.

La combinación continua de estos tres elementos es imprescindible para llegar a practicar Aikido [vídeo3] de una manera correcta y efectiva. Además, cabe añadir que todo lo que se ha explicado sobre las figuras planas se puede extender a los cuerpos geométricos, con la consecuente ampliación de los conceptos y filosofías, pero esta profundización ya escapa de mis conocimientos de Aikido. Sólo como ejemplo pongo la siguiente figura: una esfera inscrita en una pirámide (caras laterales son triángulos) de base cuadrada.

Después de leer cosas como esta, se entiende un poco mejor por qué se dice que el Aikido es una de las artes marciales más filosóficas, hasta el punto de ser llamada por algunos el arte marcial de la paz.

Agradecimientos:
- A mi profesor de Aikido, Esteban Begara Sensei, por sus correcciones y sugerencias.
- A mi hermana, Mª Dolores, por el dibujo 3d.

Referencias bibliográficas:
Luis Guz (2001): La Geometría del Aikido. Revista Cinturón Negro nº 10.

Referencias en Internet:
Entrevista a Charly Díez Sensei: http://www.abserver.es/aikidobudo/entrevista.html

¿Qué es un número?

Publicado originalmente el 13 de junio de 2007 en mi blog de la Societat Balear de Matemàtiques XEIX.

Algunos de vosotros me habéis escuchado hacer esta pregunta. Una de las cosas que más me chocaron una vez acabada la Licenciatura en Matemáticas fue que me hicieron esta pregunta y realmente no tengo ninguna contestación que me satisfaga lo suficiente.

Para encontrar cuestiones que pueden comprometer a cualquier matemático muchas veces no es necesario recurrir a teorías sofisticadas para gente inexperta (series de Fourier, teoría de categorías...). Ya sabemos que a veces la pregunta más simple puede ser una de las más difíciles de contestar.

Nadie puede dudar que los números son una parte muy importante de las matemáticas y que el trabajo con ellos es una tarea cotidiana y diaria. Os animo a que penséis una definición correcta de número y a ser posible que la pongáis por aquí y así todos aprendemos de la participación de todo el mundo.

Recordad que una definición matemáticamente correcta tiene que ser necesaria y suficiente. Por eso, una definición del tipo "es un objeto matemático" no es válida ya que hay muchos objetos matemáticos a los que no llamamos números.

Tal vez la comunidad matemática tiene alguna definición que yo desconozco o a lo mejor es mucho más fácil de lo que yo me pienso... ¿Qué opináis?